Пусть первый член прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда:

второй член: аq;

третий член: аq^2;

четвертый член: аq^3 = 1/54.

Отсюда находим q = (1/54)^(1/3) = 1/3.

Тогда из уравнения суммы членов прогрессии:

S = a(1 - q^n)/(1 - q) = 121/162

найдем a:

a = (121/162)(1 - q)/(1 - q^n) = 11/18.

Из уравнения для четвертого члена находим аq^3 = 1/54 и подставляем значения a и q:

(11/18)(1/3)^3 = 1/54

Отсюда находим n = 6.

Ответ: число членов прогрессии – 6.

Ответ:

За умовою задачі, знаменник геометричної прогресії дорівнює 1/3, а четвертий член прогресії дорівнює 1/54.

Для знаходження першого члена прогресії використаємо формулу для членів геометричної прогресії:

a1 = a4 / r^3,

де a1 - перший член прогресії, a4 - четвертий член прогресії, r - знаменник прогресії.

Підставляємо в формулу відомі значення:

a1 = (1/54) / (1/3)^3 = 1/54 * 27 = 1/2

Тепер можна знайти суму всіх членів прогресії за формулою:

S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),

де S - сума всіх членів прогресії, n - кількість членів прогресії.

Підставляємо в формулу відомі значення:

121/162 = (1/2) * (1 - (1/3)^n) / (1 - 1/3)

121/162 = (1/2) * (1 - (1/3)^n) * 3/2

121/162 = (3/4) - (1/4)*(1/3)^n

(1/4)*(1/3)^n = 3/4 - 121/162

(1/4)*(1/3)^n = 11/162

(1/3)^n = 11/3 * 162

(1/3)^n = 22/27

n*log(1/3) = log(22/27)

n = log(22/27) / log(1/3)

n ≈ 5.9

Оскільки кількість членів прогресії має бути цілим числом, то найбільш близьким значенням є n = 6.

Отже, кількість членів геометричної прогресії дорівнює 6.

Объяснение: