1) условимся пренебрегать сопротивлением воздуха во всех последующих действиях

2) определим максимальную высоту подъема h' 1 шарика через закон сохранения энергии:

(m v0²)/2 = mgh',

h' = v0² / (2g).

3) напишем уравнение координаты для некоторой оси, направленной вертикально, для обоих шариков:

h = h' - (g t²)/2,
h = v0*t - (g t²)/2,

где h - высота, на которой происходит соударение. с учетом выражения для h', перепишем в виде

h = (v0²/(2g)) - (g t²)/2,
h = v0*t - (g t²)/2.

приравнивая данные выражения, находим, что время встречи равно

t = v0/(2g).

зная время встречи шариков, нетрудно узнать координату. подставляем выражение для t в любое уравнение y(t) шариков и получаем:

h = (3v0²) / (8g).

4) чтобы определить, на какую высоту после соударения поднимется первый шарик, определим сначала его скорость перед соударением v1. по закону сохранения энергии:

mgh' = mgh + (m v1²)/2

с учетом выражения для h и h', находим, что:

v1 = v0 / 2.

определим также скорость второго шарика перед столкновением из кинематического уравнения:

v2 = v0 - gt. время встречи шаров мы знаем. получаем

v2 = v0 / 2.

5) теперь, чтобы определить скорость первого шарика после столкновения, составим систему из закона сохранения импульса и энергии. обозначим скорость первого шара после соударения v1', скорость второго - v2'

mv2 - mv1 = mv1' - mv2'
(m v2²)/2 + (m v1²)/2 = (m v1'²)/2 + (m v2'²)/2

из ЗСИ нетрудно определить, что v1' = v2' (v2 + v2' = v1' + v1)

перепишем ЗСЭ в виде: (v0²/4) + (v0²/4) = 2 v1'². отсюда

v1' = v0 / 2.

6) вновь запишем закон сохранения энергии. рассматриваем ситуацию, когда 1 шарик на высоте h со скоростью v1' полетел после соударения вверх до некоторой максимальной искомой высоты H

mgh + (m v1'²)/2 = mgH

получаем, что H = v0²/(2g) - довольно интересный, симметричный результат, к слову...