Дано:

S, t, 2t, 3,5S

υ_max - ?

Решение:

Автомобиль затратил время τ на то, чтобы двигаться с постоянным ускорением. После того, как он достиг определённой максимальной скорости υ_max, он двигался с ней некоторое время t'. Мы можем записать уравнение для скорости и попробовать проанализировать, от чего будет зависеть её максимум:

υ_max = υ₀ + a*τ, т.к. υ₀ = 0, то:

υ_max = a*τ

Мы не знаем ни ускорение, ни время. Однако, совершенно очевидно, что за данное в условиях время t автомобиль должен двигаться с ускорением. Потому что если это не так, то скорость не будет являться максимальной (υ_max прямо пропорциональна времени τ; чем больше время, тем больше скорость, и наоборот - чем меньше время, тем меньше скорость; следовательно, t должно быть < τ). Мы можем выразить ускорение, используя S и t:

S = at²/2 => a = 2S/t² =>

=> υ_max = a*τ = (2S/t²)*τ

Теперь о времени τ. Это всё то время, которое потратил автомобиль на движение с ускорением из состояния покоя. Общее время равно 2t. Часть его - τ. Другая - t' - часть, которую автомобиль затратил на равномерное движение. Выходит, что:

2t = τ + t'

Тогда выразим отсюда τ:

τ = 2t - t' =>

=> υ_max = a*τ = (2S/t²)*(2t - t')

Проанализируем множитель (2t - t'). Его значение должно быть наибольшим, чтобы удовлетворять требованиям вопроса задачи. t - это фиксированная величина, она дана в условиях задачи. t' - неизвестная. Именно от неё будет зависеть наибольшее значение множителя. Наибольшим множитель будет тогда, когда t' будет являться наименьшим. Как же найти наименьшее t'? Собственно, нужно просто найти t'.

В задаче сказано про постоянное ускорение. Если мы вдруг предположим, что всё время 2t машина потратила на движение с ускорением, то получим нестыковку:

С одной стороны a = 2S/t², с другой:

3,5S = a(2t)²/2 = a*4t²/2 = 2*at² => a = 3,5S/(2t²) = 1,75S/t²

2S/t² ≠ 1,75S/t²

То есть, это значит, что машина разгонялась не 2t, а меньше. И проехала она с ускорением не 3,5S, а меньше. Подобрать такие s и τ сложно. Да и зачем - мы можем составить уравнение всего пути, которое предполагает нужные s и τ, а заодно - и нужное t':

3,5S = s + s', где s - путь, пройденный с ускорением, s' - путь, пройденный с постоянной скоростью

3,5S = (a*τ²/2) + υ_max*t', где υ = a*τ, а τ = 2t - t' - отсюда выразим t' и подставим его в уравнение скорости. Преобразовываем:

3,5S = a*(2t - t')²/2 + a*(2t - t')*t' | *2

7S = a*(4t² - 4tt' + t'²) + 2a*(2tt' - t'²)

7S = 4at² - 4att' + at'² + 4att' - 2at'²

7S = 4at² - at'²

7S = a*(4t² - t'²) - теперь подставим вместо ускорения его выражение через путь и время:

7S = (2S/t²)*(4t² - t'²) | : S

7 = (2/t²)*(4t² - t'²)

7 = 8 - 2*(t'²/t²)

2*(t'²/t²) = 8 - 7

(t'²/t²) = 1/2 => t'² = t²/2 => t' = t/√2

Готово. Это и есть то самое минимальное время, которое потратил автомобиль на участок пути с равномерным движением. Подставляем его в уравнение скорости:

υ_max = (2S/t²)*(2t - t') = (2S/t²)*(2t - t/√2) = (2S/t²)*t*(2 - 1/√2) = (2S/t)*(2 - 1/√2)

Ответ: υ_max = (2S/t)*(2 - 1/√2).