Дано:

L, K

k - ?

Решение:

По закону Гука:

F = - k*ΔL

Сила упругости, возникающая в пружине, равна произведению жёсткости пружины и изменению её длины. Знак "минус" означает направление силы упругости - она всегда направлена противоположно силе, действующей на пружину.

Длина целой пружины составляет L. При подвешивании груза пружина растягивается на ΔL. Теперь представим, что пружина состоит из двух частей длиной L/2, спаянных вместе. Длина пружины будет составлять сумму длин обеих частей:

L/2 + L/2 = L

Изменение длины пружины будет тем же самым. Значит, изменение каждой части будет составлять половину общего изменения:

ΔL = ΔL/2 + ΔL/2

В целой пружине возникает сила, равная:

F = - K*ΔL

Выразим ΔL:

ΔL = - (F/K)

Если теперь поделить изменение на 2, получим выражение:

ΔL/2 = - (F/K)/2 = - F/(2K)

Тогда запишем изменение длины целой пружины и сумму изменений длин её частей таким образом:

ΔL = ΔL/2 + ΔL/2 =>

=> - (F/K) = - F/(2K) + (- F/(2K))

Используем для удобства модули (избавимся от минусов):

F/K = F/(2K) + F/(2K)

Это уравнение говорит следующее: сила F, приложенная к пружине жёсткостью K, равна силе F, которая приложена одновременно к двум последовательно соединённым пружинам, каждая из которых имеет жёсткость 2К. Вот и ответ: k = 2*K. Математически k можно выразить так:

F/K = F/(2K) + F/(2K) | : F

1/K = 1/(2K) + 1/(2K)

Последнее уравнение перепишем по-другому:

1/K = 1/k + 1/k

1/K = 2/k => K = k/2 => k = 2*K

Ответ: k = 2*K.