Сделаем построение по условию.

Обозначим  плоскости α , β.

Прямая    m – линия пресечения плоскостей.

По условию т.А принадлежит плоскости β  ,  |AB| ┴   α , |AB|=d

Расстояние от  точки А  до прямой   m отрезок |AC| ┴ m .

Точка  В – проекция точки А.

Расстояние от  точки B  до прямой   m отрезок |BC| ┴ m .

По теореме о трех перпендикулярах точки А,В,С лежат в одной плоскости и образуют

прямоугольный треугольник .  <ABC =90 Град.

Так как по условию  <( α , β) =45 град, следовательно  <ACB =45 град.

Значит  <BAC =90 - <BCA = 90 -45 =45 град

Треугольник   ∆ABC  - прямоугольный, равнобедренный.  |BC|=|AB|=d

По теореме Пифагора  искомое расстояние  AC^2  = AB^2 +BC^2 =2d ;  AC=d√2

ОТВЕТ  d√2

размер линейного угла между плоскостями  = 45 град 

расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей - это гипотенуза - с

расстояние от точки А до её прекции на  вторую плоскость - это катет - a=d

проекция гипотенузы  на  вторую плоскость - это  второй катет  - b= d

получается  равнобедренный прямоугольный треугольник с углами при основании 45 град

по теореме Пифагора  c^2 = a^2 +b^2

оба катета  =d

c =  d√2