Ответ:

Давайте розглянемо кожне завдання окремо:

1. **Завдання 1:**

- ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 8 см.

- Потрібно знайти: AC, BC, ∠B.

Вирішення:

- ΔABC є прямокутним з кутами 30° та 60°.

- Відомо, що у такому трикутнику катет, що лежить навпроти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

- AC = AB/2 = 8/2 = 4 см.

- BC (інший катет) можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

- BC = √(AB² - AC²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см.

- ∠B = 60° (оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180°).

2. **Завдання 2:**

- ΔABC, AB = BC = 17 см, AC = 16 см, BM ⊥ AC.

- Потрібно знайти: sin ∠ABM, cos ∠ABM, tg ∠ABM.

Вирішення:

- ΔABC рівнобедрений з основою AC.

- Висота BM поділяє AC навпіл, тобто AM = MC = AC/2 = 16/2 = 8 см.

- Трикутник ABM прямокутний з гіпотенузою AB.

- AB = 17 см, AM = 8 см.

- BM = √(AB² - AM²) = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15 см.

- sin ∠ABM = протилежний катет / гіпотенуза = BM / AB = 15 / 17.

- cos ∠ABM = прилеглий катет / гіпотенуза = AM / AB = 8 / 17.

- tg ∠ABM = протилежний катет / прилеглий катет = BM / AM = 15 / 8.

3. **Завдання 3:**

- ΔAMC, AM ⊥ BC, AB = 12 см, ∠B = 45°, ∠MAC = 30°.

- Потрібно знайти: BM, MC, AC.

Вирішення:

- ΔABM прямокутний, де ∠B = 45°.

- BM = AB / √2 = 12 / √2 = 12√2 / 2 = 6√2 см.

- У трикутнику AMC:

- ∠MAC = 30°, ∠MCA = 60°, ∠AMC = 90°.

- MC (катет, навпроти 60°) дорівнює √3 рази меншого катета (AM):

- AM = BM = 6√2 см.

- MC = AM * √3 = 6√2 * √3 = 6√6 см.

- AC = AM * 2 = 6√2 * 2 = 12√2 см.

4. **Завдання 4:**

- Трапеція ABCD, основа AD = 10 см, бічна сторона CD = 3√2 см, кут між бічною стороною та основою AD дорівнює 45°.

- Потрібно знайти діагональ AC.

Вирішення:

- Кут між CD і AD = 45°, отже, ΔACD є прямокутним.

- CD = 3√2 см.

- ∠ACD = 45°, тому катет AC = катет CD.

- AC = CD = 3√2 см.

- AD = 10 см.

- Діагональ AC є гіпотенузою прямокутного трикутника ADC.

- AC = √(AD² + CD²) = √(10² + (3√2)²) = √(100 + 18) = √118 см.

Це основні рішення для кожного із завдань на зображенні.