Объяснение:

### Дано:

- Трикутник (ABC) є рівностороннім, (AB = BC = CA = 6 , text{см}).

- З вершини (B) проведено перпендикуляр (BM) до площини трикутника (ABC).

- Кут між площиною (AMC) і площиною трикутника (ABC) дорівнює (30^circ).

### Розв'язання:

1. **Знайдемо висоту рівностороннього трикутника (ABC)**:

Висота (h) рівностороннього трикутника з стороною (a) обчислюється за формулою:

[

h = frac{a sqrt{3}}{2}

]

Для (a = 6 , text{см}):

[

h = frac{6 sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3} , text{см}

]

2. **Знайдемо відстань (BM)**:

Висота (BM) є перпендикуляром з вершини (B) до площини трикутника (ABC). Позначимо цю відстань як (d). (BM) є однією з висот правильної чотирикутної піраміди (BAMC), основою якої є трикутник (ABC), а висота проведена до основи (ABC).

3. **Визначимо проекцію точки (M) на площину трикутника (ABC)**:

У точці (M), яка є проекцією на площину (ABC) утворюється кут (30^circ) з площиною трикутника (ABC). Відстань від точки (M) до площини трикутника (AMC) обчислюється з використанням кута нахилу. Якщо (x) - відстань від точки (M) до площини трикутника (ABC), то:

[

sin 30^circ = frac{x}{d}

]

Оскільки (sin 30^circ = frac{1}{2}), то:

[

frac{1}{2} = frac{x}{d}

]

Звідси:

[

x = frac{d}{2}

]

4. **Обчислимо (d)**:

Висота (BM) визначає висоту правильної чотирикутної піраміди. Враховуючи, що висота (BM) дорівнює висоті рівностороннього трикутника (3sqrt{3}):

[

d = 3sqrt{3}

]

5. **Обчислимо (x)**:

Відстань (x) від точки (M) до площини трикутника (ABC):

[

x = frac{d}{2} = frac{3sqrt{3}}{2} = 1.5sqrt{3} , text{см}

]

### Відповідь:

Відстань від точки (M) до площини трикутника (ABC) дорівнює (1.5sqrt{3} , text{см}).