1) y '' + 2y ' = sin x
Просто, потому что по шаблону.
Характеристическое уравнение
k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = A*sin x + B*cos x
y* ' = A*cos x - B*sin x
y* '' = -A*sin x - B*cos x
Подставляем в наше уравнение
-A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x
(-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x
Система
{ -A - 2B = 1
{ 2A - B = 0
Умножаем 2 уравнение на -2
{ -A - 2B = 1
{ -4A + 2B = 0
И складываем уравнения
-5A = 1; A = -1/5 = -0,2
B = 2A = -0,4
Общее решение неоднородного уравнения
y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x

2) y ' + y/(2x) = x^2
Чуть сложнее, но тоже нетрудно.
Решение однородного уравнения
y ' + y/(2x) = 0
dy/dx = -y/(2x)
dy/y = -dx/(2x)
ln y = -ln |2x| + ln C = ln |C/(2x)|
y0 = C/(2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx
y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D
Подставляем в уравнение
3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2
{ 3A + 3A/2 = 1
{ 2B + B/2 = 0
{ D + D/2 = 0
A = 2/9; B = 0; D = 0
y* = 2x^2/9
y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9
Решаем задачу Коши.
y(1) = C/2 + 2/9 = 1
C/2 = 7/9
C = 14/9
Ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9