Заметим, что 22, 5° * 2 = 45°, значит угол в 45° для исходного является двойным. Двойные углы фигурируют в формулах понижения степени, воспользуемся ими.Сначала договоримся, что угол 22.5 - угол первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Найдём сначала косинус нужного угла(это проще всего):

cos² 22,5° = (1 + cos 45°) / 2,  cos 45° = √2/2

cos² 22,5° = (2 + √2)/2 : 2 = (2 + √2)/4

cos 22.5° = √(2 + √2) / 2

Значение синуса угла легко найти из основного тригонометрического тождества:

sin² 22.5° + cos² 22.5° = 1

sin² 22.5° = 1 - cos²22.5° = 1 - (2 + √2)/4 = (2 - √2)/4

sin 22.5° = √(2 - √2) / 2

Значение тангенса легко найти из следующего соотношения:

tg 22.5° = sin 22.5° / cos 22.5° = √(2 - √2) / 2  :  √(2 + √2) / 2 = √(2 - √2) / √(2 + √2)

Значение котангенса равно:

ctg 22.5° = 1 / tg 22.5° = √(2 + √2) / √(2 - √2)

Задача решена.