1) sin^2(x)=cos^2(x)

x=pi/4+pik, k целое.

2) 3x+5=+-6

3x=+-6-5

x=+-2-5/3

х=1/3 или x=-11/3

3) |x+1|=x+1

x+1>=0

x>=-1

4) |2x+1|+|x+3|=4

Заметим, что |2x+1|<=4

-4<=2x+1<=4

-5/2 <= x <= 3/2

Тогда x>=-5/2>-3 и можно раскрыть второй модуль (|x+3|=x+3)

|2x+1|=4-(x+3)=1-x

a. 2x+1=1-x

x=0

b. 2x+1=x-1

x=-2.

Проверка. |2*0+1|+|0+3|=1+3=4 - ok

|-4+1|+|-2+3|=3+1=4 -ok

Оба корня подходят

5) -3 < 1-2x < 3

-4 < -2x < 2

-2 < -x < 1

-1 < x < 2

6) |x-1| < |x|

Используем геометрический смсл модуля. Тогда расстояние от х до 1 должно быть меньше, чем до 0. Отсюда сразу получаем x>1/2

7) Если x<=0, то неравенство выполняется. Пусть x>0, тогда обе части можно возвести в квадрат.

(x^2-2x)^2>=x^2

(x-2)^2 >= 1 (разделила все на x^2)

x-2>=1 or x-2<=-1

x>=3 or x<=1

Объединяя с условием x>0, кусок ответа здесь (0,1]u[3,+infty)

А полный ответ - (-infty,1]u[3,+infty)