Заметим, что

frac{x^3-1}{x^4+x^2+1}=frac{(x-1)*(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}" title="x^4+x^2+1=(x^2+x+1)*(x^2-x+1).quad (1)" title="frac{x^3-1}{x^4+x^2+1}=frac{(x-1)*(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}" title="x^4+x^2+1=(x^2+x+1)*(x^2-x+1).quad (1)" alt="frac{x^3-1}{x^4+x^2+1}=frac{(x-1)*(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}" title="x^4+x^2+1=(x^2+x+1)*(x^2-x+1).quad (1)" />

Первая дробь сокращается, так как числитель можно расписать по формуле разности кубов

Первая дробь сокращается, так как числитель можно расписать по формуле разности кубов

[tex]frac{x^3-1}{x^4+x^2+1}=frac{(x-1)*(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}" />

Используя вышеуказанное раенство (1), преобразуем знаменатель

Сокращаем числитель и знаменатель

Заметим, что полученная дробь не сокращается. Так как корни уравнений,  полученных при числителе и знаменателе будут разными. То есть из числителя получаем уравнение

х-1=0

х=1.

Если подставить х=1 в знаменатель, то получим 1, а не 0. То есть дальнейшее упрощение дроби невозможно.

Перейдем ко второй дроби. Вновь используем (1).

Как видно, эта дробь тоже несократима.