Размещено 4 года назад по предмету Алгебра от MilaRi

БОЛЕЕ 30-ти БАЛЛОВ!!!!
Докажите, что функция возрастает
1) y=x^3+1
2) y=x^2/2
И убывает
1) y=-7x+1
2)y=4-(x/3)
И желательно внятно объяснить, а не просто написать ответ

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан ArtemCoolAc

Так, так, так. У линейной функции возрастание/убывание зависит от углового коэффицента k $y=kx+m$ : если k>0, функция возрастает, k<0 - убывает. Всё просто. Т.е. в убывании обе функции линейные, k<0 и в первом (k=-7), и во втором $y=4- frac{1}{3}x; k=- frac{1}{3}$ . С этим разобрались. Теперь к возрастанию. Я не знаю, в каком Вы классе, постараюсь объяснить доступно. Чтобы определить возрастание/убывание функции, нужно взять значения $x_1; x_2$ , два произвольных числа, но $x_1 textless x_2$ . Пусть мы имеем функцию $y=f(x)$ , тогда вычисляем значения функции в этих двух точках, имеем $f(x_1)$ и $f(x_2)$ , так вот, если $x_1 textless x_2; f(x_1) textless f(x_2);$ , тогда функция возрастающая, если же $x_1 textless x_2; f(x_1) textgreater f(x_2)$ , то она убывающая, но только ПРИ УСЛОВИИ, что она монотонна на всей области определения (т.е. ТОЛЬКО возрастает или ТОЛЬКО убывает), в противном случае мы говорим о ПРОМЕЖУТКАХ возрастания и убывания. 1) $y=x^3+1; x_1=-2; f(x_1)=(-2)^3+1=-7; x_2=4;x_1 textless x_2 \ f(x_2)=4^3+1=65; f(x_1) textless f(x_2)$ , т.е. функция возрастающая. А вот задание с $y= frac{x^2}{2}$ не совсем корректно, так как эта функция возрастает только при x>0, при x<0 она убывает, x=0 - Точка экстремума. Если уж брать математический анализ, то легко взять производную и исследовать функцию на "скорость изменения" (алгебраический смысл производной) $y= frac{x^2}{2}; y'= frac{2x}{2}=x;$ . Если производная в некоторой точке отрицательная, то функция убывает, если производная положительная, то функция возрастает, если производная равна 0, то это точка экстремума. Очевидно, что при x<0 функция убывает, при x>0 возрастает. Если же доказывать возрастание на промежутке x>0, тогда действуем, как и в первом случае (только не берем значения из ненужного нам промежутка): $x_1=1; x_2=2; x_1 textless x_2; f(x_1)= frac{1}{2};f(x_2)=2; f(x_1) textless f(x_2)$ , функция возрастает, что и требовалось доказать.
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан MilaRi
  
  Спасибо! Теперь мне всё стало понятно.