Используем свойства функций.Т.к. Х³-3Х-возр.,то 1/Х³-3Х-убывающая.Считаем значения функции на концах отрезка.

у`=((1/4)·x³ -3x)`=(1/4)·(x³)`-3(x)`=(1/4)·3x²-3;
y`=0
(1/4)·3x²-3=0
3((1/4)x²-1)=0
(1/4)x²-1=0
x²=4
x=2   или   х=-2 - точки возможных экстремумов.
-2∉[1;6]

Находим знак производной:
[1]_-__[2]___+____[6]

х=2 - точка минимума функции на [1;6], производная меняет знак с -  на +.

у(2)=(1/4)·2³-3·2=2-6=-4 - наименьшее значение функции на [1;6]

Находим значения на концах отрезка
у(1)=(1/4)-3=-2 целых 3/4
у(6)=(1/4)·6³-3·6=54-18=36 - наибольшее значение функции на [1;6]