x-5>=0

x>=5

x-2a-5>=0

x>=2a+5

a^2+8x-40+ 2sqrt(x^2-10x+29)=x-5

2sqrt(x^2-10x+29)=x-5-a^2-8x+40

2sqrt(x^2-10x+29)=-7x+35+a^2

4(x^2-10x+29)=(-7x+35)^2+2a^2*(-7x+35)+a^4

4x^2-40x+116=49x^2-490x+1225-14a^2x+70a^2+a^4

45x^2-(450+14a^2)x+1109+70a^2+a^4=0

D=(450+14a^2)^2-4*45*(1109+70a^2+a^4)=202500+12600a^2+196a^4-199620-12600a^2-180a^4=16a^4-2880

условие одного корня 16a^4=2880 a^4=180 a=root(180,4) a=-root(180,4)

x=(450+sqrt(180)*180)/90=50+2sqrt(180) удовлетворяет ОДЗ

второй случай

x-5<0

x<5

x-2a-5<0

x<2a+5

a^2-8x+40+2sqrt(x^2-10x+29)=-x+4a+5

2sqrt(x^2-10x+29)=9x+4a-a^2-35

4(x^2-10x+29)=81x^2+18x(4a-a^2-35)+(4a-a^2-35)^2

4x^2-40x+116=81x^2+72a x -18a^2x -630+(4a-a^2)^2-70(4a-a^2)+1225

4x^2-40x+116=81x^2+(72a-18a^2)x-630+16a^2-8a^3+a^4-70(4a-a^2)+1225

77x^2+(72a-18a^2+40)x +(595+16a^2-8a^3+a^4-280a+70a^4)=0

D=(72a-18a^2+40)^2-4*77*(595+16a^2-8a^3+a^4-280a+70a^4)=

(72a-18a^2)^2+80(72a-18a^2)+1600-183260-4928a^2+2464a^3-308a^4+86240a-21560a^4=

5184a^2-2592a^3+324a^4+5760a-1440a^2+1600-183260-4928a^2+2464a^3-308a^4+86240a-21560a^4=-1184a^2-128a^3-21544a^4-181660=0 -тут большой вопрос как его аналитически решать

и остается еще два случая для модуля с такими же уравнениями четвертой степени