Числа составляют арифметическую прогрессию в том случае, если a(n+1)-a(n) = k = const для любого натурального n.

k - это шаг прогрессии.

Нужно сравнивать разность b(n+1)-b(n) для нескольких n, если разность одинаковая, значит, b(n), b(n+1), b(n+2) - это члены арифметической прогрессии.

По условию a1, a2, a3... - члены арифметической прогрессии, следовательно, a2-a1 = a3-a2 = k.

Возьмем пример 1): Тут a3-a1 = a5-a3, поэтому ответ да, является.

В примере 3) разность sqrt(a2+a3) - sqrt(a1+a2) <> sqrt(a3+a4) - sqrt(a2+a3).
Докажем это.
Пускай член исходной арифметической прогрессии a(n) = a0 + k*n

Перепишем нашу разность:

sqrt(a0 + k*2 + a0 + k*3) - sqrt(a0 + k + a0 + k*2) <> sqrt(a0 + k*3 + a0 + k*4) - sqrt(a0 + k*2 + a0 + k*3);
sqrt(2*a0 + k*5) - sqrt(2*a0 + k*3) <> sqrt(2*a0 + k*7) - sqrt(2*a0 + k*5)

Возведем в квадрат:

2*a0 + k*5 + 2*a0 + k*3 - 2*sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) <> 2*a0 + k*7 + 2*a0 + k*5 - 2*sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));

k*5 + k*3 - 2*sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) <> k*7 + k*5 - 2*sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));
k*8 - 2*sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) <> k*12 - 2*sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));

k*4 - sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) <> k*6 - sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));
k*4 - k*6 <> sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) - sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));
2*k <> sqrt((2*a0 + k*5)*(2*a0 + k*3)) - sqrt((2*a0 + k*7)*(2*a0 + k*5));

В принципе дальше решать не нужно, т. к. выражение в левой части зависит только от k, а выражение в правой части зависит и от a0.

Ответ нет, не является.

Разберем пример 4):
b1 = a1 + a3 = a4
b2 = a3 + a5 = a8
b3 = a5 + a7 = a12

Т. к. b3-b2 = b2-b1, то есть a12-a8 = a8-a4, то да, является.

5) не является.

Правильный вариант C.

Для доказательства 1,2,4 достаточно вывести формулу b(n):

1) b(n) = a(2*n-1)
4) b(n) = a(4*n - 4)