Выделение полного квадрата означает, что мы будем иметь выражение вида (...)² + (...), причем если данное выражение не является само полным квадратом, то помимо самого квадрата останется еще какое-то выражение, которое я взяла во вторые скобки. 
Рассмотрим полный квадрат: например, (nx + a)² = n²x² + 2nxa + a². Нам будет удобнее всего, если 4x² войдет в полный квадрат. Тогда удобнее взять в качестве n или 1, или 2. Я рассмотрю оба способа. 
В качестве a также можем взять любое число. Т.к. в нашем выражении свободный член - 3, удобнее всего брать единицу. 
1) будем выделять (x + 1)² = x² + 2x + 1: 
Т.к. у нас 4x², выделим 4(x + 1)² = 4x² + 8x + 4. 
4x² + 7x + 3 = 4x² + 8x - x + 4 - 1 = 4(x + 1)² - (x + 1) = (x + 1)(4x + 4 - 1) = (x + 1)(4x + 3). 
То есть решаем уравнение (x + 1)(4x + 3) = 0. 
Чтобы выражение было равно нулю, нужно, чтобы одна из скобок была равна 0: x = -1 или x = -. 

Ответ: -1; -. 

2) выделяем (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1. 
4x² + 7x + 3 = 4x² + 4x + 3x + 1 + 2 = (2x + 1)² + 3x + 2 = (2x + 1)² + (2x + 1) + (x + 1) = (2x + 1)(2x + 1 + 1) + (x + 1) = 2(2x + 1)(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(4x + 3). 
Т.е. решаем уравнение (x + 1)(4x + 3) = 0. 
x = -1 или x = -. 

Ответ: -1; -. 

Как видите, выделять полный квадрат можно по-разному, но ответ все-таки одинаковый. Задавайте вопросы, если непонятно. :)