Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители
(x- y)(x^2 + xy + y^2) = 37
Заметим, что для любых целых x и y  выражение x^2 + xy + y^2 >=  0,
значит  x - y  должно быть >  0,  т.е. оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными.
Все делители числа 37:  1;  -1;  37; -37  ,  из  них   нам подходят только положительные, т.е.   1  и  37   = >
наше уравнение равносильно совокупности двух систем:
x - y = 1                                   или                x - y =  37            
x^2 + xy + y^2 = 37                                        x^2 + xy + y^2 = 1

1) система
y  = x - 1
x^2 + x(x - 1) + (x - 1)^2 = 37
x^2 + x^2 - х + x^2 - 2x + 1 = 37
3 x^2 - 3x - 36 =0
x^2 - x - 12 =0
х1+х2 = 1
х1х2 =  -12
х1 = 4  х2 = -3 
y1 = 3  y2 = -4

2) система
y  = x - 37
x^2 + x(x - 37) + (x - 37)^2 = 1
x^2 + x^2 - 37x  + x^2 - 72x + 1368= 0
3x^2  - 109x + 1368= 0
D = 11881 - 12*1368 = 11881 - 16416  < 0  - решений нет

ОТВЕТ:  (4; 3); (-3; -4)