Размещено 3 года назад по предмету Алгебра от burxonovshahriyor

Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших 1/2015 чем и больших чем 1/2016?

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Удачник66

Ответ:
1440 дробей.
Объяснение:
Попробуем решить системой неравенств.
Нам нужно найти все дроби с числителем 2015, чтобы выполнялось:
1/2016 < 2015/x < 1/2015
Раскладываем на два неравенства:
$left { begin{array}{ccc} frac{1}{2016} < frac{2015}{x} \ \ frac{2015}{x} <frac{1}{2015} end{array}right$
Переносим всё налево:
$left { begin{array}{ccc} frac{1}{2016} - frac{2015}{x} < 0\ \ frac{2015}{x} - frac{1}{2015} < 0 end{array}right$
Приводим обе системы к одному знаменателю 2015*2016*x:
$left { begin{array}{ccc} frac{2015x-2015*2015*2016}{2016*2015x} < 0\ \ frac{2015*2015*2016-2016x}{2015*2016*x} < 0 end{array}right$
Так как x > 0, то знаменатели > 0, значит, числители < 0:
$left { begin{array}{cc} 2015x-2015*2015*2016 < 0\ 2015*2015*2016-2016x < 0 end{array}right$
1 неравенство делим на 2015, а 2 неравенство делим на 2016:
$left { begin{array}{cc} x-2015*2016 < 0\ 2015*2015-x < 0 end{array}right$
Разделяем переменные и числа:
$left { begin{array}{cc} x < 2015*2016 \ x > 2015*2015 end{array}right$
Подходят все от 2015*2015 + 1 = 4060226 до 2015*2016 - 1 = 4062239
Всего таких дробей: 4062239 - 4060226 + 1 = 2014
Но нам нужны несократимые дроби.
То есть знаменатель x не должен иметь одинаковых делителей с 2015.
2015 = 5*13*31
Его делители: 5, 13, 31, 65, 155, 403.
Рассмотрим каждый из делителей:
5: Наименьшее кратное : 4060230. Наибольшее кратное : 4062235.
Всего таких чисел : (4062235 - 4060230) : 5 + 1 = 402
13: Наименьшее кратное : 4060238. Наибольшее кратное : 4062227.
Всего таких чисел : (4062227 - 4060238) : 13 + 1 = 154
31: Наименьшее кратное : 4060256. Наибольшее кратное : 4062209.
Всего таких чисел : (4062209 - 4060256) : 31 + 1 = 64
65: Наименьшее кратное : 4060290. Наибольшее кратное : 4062175.
Всего таких чисел : (4062175 - 4060290) : 65 + 1 = 30
155: Наименьшее кратное : 4060380. Наибольшее кратное : 4062085.
Всего таких чисел : (4062085 - 4060380) : 155 + 1 = 12
403: Наименьшее кратное : 4060628. Наибольшее кратное : 4061837.
Всего таких чисел : (4061837 - 4060628) : 403 + 1 = 4
Это значит вот что.
Из 402 чисел, кратных 5, есть 30 чисел, кратных 65, то есть кратных 13.
Поэтому они вошли в два списка: кратных 5 и кратных 13.
Их надо один раз вычесть.
Также, из этих 402 чисел нужно вычесть 12 чисел, кратных 155 = 5*31.
И из 154 чисел, кратных 13, нужно вычесть 4 числа, кратных 403 = 13*31.
Таким образом, получается всего нужно вычеркнуть:
402 + 154 + 64 - 30 - 12 - 4 = 574
И всего получается:
2014 - 574 = 1440 несократимых дробей.