За теоремою Вієта, сума коренів квадратного рівняння ax^2+bx+c=0 дорівнює -b/a, а добуток коренів дорівнює c/a. Тому, якщо один з коренів рівняння х^2 + kx - 15 = 0 дорівнює 5, то другий корінь можна знайти наступним чином:
Перепишемо рівняння у вигляді:
(x-5)(x+m) = 0, де m - шуканий другий корінь.
Розкривши дужки ми отримаємо:
x^2 - 5x + mx - 5m = 0
За умовою задачі знаємо, що х=5 - корінь цього рівняння. Підставляємо його у вираз та спрощуємо:
5^2 - 5*5 + 5m - 5m = 0
25 - 25 = 0
Отже, перший множник (x-5) дійсно дорівнює нулю, що означає, що x=5 - один з коренів.
За теоремою Вієта, сума коренів рівняння дорівнює -b/a. Оскільки один з коренів дорівнює 5, то сума іншого кореня та 5 повинна дорівнювати -k (коефіцієнт при x). Тому ми можемо записати:
5 + m = -k
або
m = -k - 5
Також, за теоремою Вієта, добуток коренів дорівнює c/a. Оскільки c = -15, а a = 1, ми можемо записати:
5m = -15
або
m = -3
Отже, ми знайшли шуканий другий корінь - m = -3, та можемо визначити k за формулою:
m = -k - 5
-3 = -k - 5
k = 2
Отже, другий корінь дорівнює -3, а значення k дорівнює 2.