Ответ:

Раскроем тригонометрические функции в этом выражении:

ctg²a - cos²a - ctg²a * cos²a =

= (1 / tan²a) - cos²a - (1 / tan²a) * cos²a =

= 1/tan²a - cos²a(1 + 1/tan²a) =

= 1/tan²a - cos²a * (tan²a + 1) / tan²a =

= (1 - cos²a * (tan²a + 1)) / tan²a

Преобразуем скобку в числителе:

1 - cos²a * (tan²a + 1) = 1 - cos²a * tan²a - cos²a =

= sin²a - cos²a * tan²a

Теперь можно переписать начальное выражение:

ctg²a - cos²a - ctg²acos²a =

= (sin²a - cos²a * tan²a) / tan²a - cos²a =

= (sin²a - cos²a * tan²a - cos²a * tan²a) / tan²a =

= sin²a / tan²a - 2cos²a * tan²a / tan²a =

= sin²a / tan²a - 2cos²a =

= sin²a / (sin²a / cos²a) - 2cos²a =

= cos²a - 2cos²a =

= -cos²a

Ответ: -cos²a.

Объяснение:

Мы можем использовать тождество ctg²a = 1 + cos²a/sin²a и заменить ctg²a и cos²a :

ctg²a - cos²a - ctg²a*cos²a = (1 + cos²a/sin²a) - cos²a - (1 + cos²a/sin²a)*cos²a = 1/sin²a - cos²a/sin²a - cos²a - (1/sin²a + cos²a/sin²a)*cos²a = 1/sin²a - cos²a/sin²a - cos²a - cos²a/sin²a + cos⁴a/sin⁴a = (1 - cos²a - cos⁴a) / sin²a

Используем sin²a = 1 - cos²a, чтобы упростить:

(1 - cos²a - cos⁴a) / sin²a = (sin²a - cos²a - cos⁴a) / sin²a = (1 - cos²a) - cos⁴a / (1 - cos²a) = sin²a - cos⁴a / sin²a

Ответ: (sin²a - cos⁴a) / sin²a.