Ответ:

Чтобы решить интеграл (int (x^2 - 6x + 2) , dx), следует воспользоваться правилом интегрирования для каждого члена.

1. Интегрируем (x^2 - 6x + 2):

[

int (x^2 - 6x + 2) , dx = int x^2 , dx - int 6x , dx + int 2 , dx

]

[

= frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + C_1

]

(где (C_1) - произвольная постоянная интегрирования)

2. Интегрируем (frac{x^2}{3} - 3x^2 + 2x^{-1}):

[

int left(frac{x^2}{3} - 3x^2 + 2x^{-1}right) , dx = frac{1}{3} int x^2 , dx - 3 int x^2 , dx + 2 int x^{-1} , dx

]

[

= frac{1}{3} cdot frac{x^3}{3} - 3 cdot frac{x^3}{3} + 2 ln|x| + C_2

]

[

= frac{x^3}{9} - x^3 + 2 ln|x| + C_2

]

(где (C_2) - произвольная постоянная интегрирования)

Теперь подставим верхние и нижние пределы интегрирования (1) и (0), соответственно:

[

left(frac{x^3}{9} - x^3 + 2 ln|x| + C_2right)Big|_0^1 - left(frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + C_1right)Big|_0^1

]

Подставив (x = 1) и (x = 0) в каждое из уравнений, мы получим:

[

left(frac{1^3}{9} - 1^3 + 2 ln|1| + C_2right) - left(frac{1^3}{3} - 3 cdot 1^2 + 2 cdot 1 + C_1right)

]

[

= left(frac{1}{9} - 1 + 2 cdot 0 + C_2right) - left(frac{1}{3} - 3 + 2 + C_1right)

]

[

= -frac{8}{9} + C_2 - left(-frac{8}{3} + C_1right)

]

[

= -frac{8}{9} + C_2 + frac{8}{3} - C_1

]

[

= frac{16}{9} + C_2 - C_1

]

Таким образом, окончательный результат интегрирования (int (x^2 - 6x + 2) , dx) с верхним пределом 1 и нижним пределом 0 равен (frac{16}{9} + C_2 - C_1).