Размещено 6 месяцев назад по предмету Алгебра от brouny

Розв'яжіть рівняння 2х⁴-х³-14х²+19х-6=0

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан forqforq
Ответ:
x = -3; 0.5; 1; 2
Объяснение:
$2x^4-x^3-14x^2+19x-6=0$
Если у алгебраического уравнения имеются рациональные корни, то они имеют вид p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители старшего коэффициента.
Рассмотрим делители -6 и 2:
-6: ±1; ±2; ±3
2: ±1; ±2
Проверим сразу корни x = 1 и x = -1:
x = 1: $2*1^4-1^3-14*1^2+19*1-6=2-1-14+19-6=0$ - подходит, значит x = 1 является корнем
x = -1: $2*(-1)^4-(-1)^3-14*(-1)^2+19*(-1)-6=2+1-14-19-6=-36$ - не подходит
Проверим еще корни x = 2 и x = -2:
x = 2: $2*2^4-2^3-14*2^2+19*2-6=32-8-56+38-6=0$ - подходит
Проверять далее нет смысла, поскольку мы нашли уже 2 корня. Вы скажите, но что насчет остальных 2-ух, ведь согласно основной теореме алгебры, наше исходное уравнение может иметь до 4-ых вещественных корней.
Тут в работу включается одно из следствий т. Безу:
Если многочлен P(x) = 0 при x = x₀, то P(x) делится нацело на (x - x₀).
Благодаря этому следствию мы можем привести наше уравнение четвертой степени к уравнению второй степени, которое имеет довольно простое аналитическое решение через дискриминант. Для этого давайте поделим исходный многочлен на многочлен (x - 1) (x - 2) = x^2 - 3x + 2 (фото прикрепил).
Получим следующее разложение:
$2x^4-x^3-14x^2+19x-6=(x^2-3x+2)(2x^2+5x-3)$
Рассмотрим уравнение $2x^2+5x-3=0$ . Его корни будут являться корнями исходного уравнения.
Решим его через дискриминант:
$2x^2+5x-3=0\D=5^2-4*2*(-3)=25+24=49\x_{3,4}=frac{-5 pm 7}{4}={-3; 0.5}$
В итоге мы получили еще два вещественных корня, которые войдут в финальный ответ.
Дополнительно: чисто теоретически мы могли решить эту задачу чистым перебором всех возможных комбинаций p/q без деления многочленов, поскольку, как оказалось, все корни нашего уравнения оказались рациональными. Но на самом деле лучше сэкономить время и остановиться на квадратном уравнении, ведь решить его через дискриминант будет быстрее, чем перебрать все варианты в исходном уравнении, а потом убедиться в том, что корни окажутся иррациональными и их подобрать уже не получится.