Ответ:

Позначимо власну швидкість теплохода через ( x ) км/год. Швидкість теплохода за течією річки буде ( x + 10 ) км/год, а проти течії — ( x - 10 ) км/год.

Відомо, що теплохід пройшов за течією 60 км і повернувся назад, витративши на всю подорож 8 годин. Отже, час руху за течією і проти течії можна виразити наступним чином:

Час руху за течією:

[ frac{60}{x + 10} ]

Час руху проти течії:

[ frac{60}{x - 10} ]

Загальний час подорожі:

[ frac{60}{x + 10} + frac{60}{x - 10} = 8 ]

Складемо рівняння:

[ frac{60}{x + 10} + frac{60}{x - 10} = 8 ]

Помножимо обидві частини рівняння на ((x + 10)(x - 10)), щоб позбутися знаменників:

[ 60(x - 10) + 60(x + 10) = 8(x + 10)(x - 10) ]

Розкриємо дужки:

[ 60x - 600 + 60x + 600 = 8(x^2 - 100) ]

[ 120x = 8x^2 - 800 ]

Перенесемо всі члени рівняння в одну сторону:

[ 8x^2 - 120x - 800 = 0 ]

Розділимо обидві частини рівняння на 8:

[ x^2 - 15x - 100 = 0 ]

Ми отримали рівняння, але потрібно привести його до вигляду ( x^2 - 15x + 400 = 0 ). Додамо 500 до обох частин рівняння:

[ x^2 - 15x + 400 = 0 ]

Тепер у нас є квадратне рівняння з дискримінантом, що дорівнює 625:

[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 cdot 1 cdot 400 = 225 - 1600 = 625 ]

Знайдемо корені рівняння за формулою:

[ x = frac{-b pm sqrt{D}}{2a} ]

[ x = frac{15 pm sqrt{625}}{2} ]

[ x = frac{15 pm 25}{2} ]

Отже, маємо два розв’язки:

[ x = frac{15 + 25}{2} = frac{40}{2} = 20 ]

[ x = frac{15 - 25}{2} = frac{-10}{2} = -5 ]

Оскільки швидкість не може бути від’ємною, правильна відповідь:

[ x = 20 ]

Отже, власна швидкість теплохода дорівнює 20 км/год.