Решим эту задачу по криволинейному интегралу.

Дано:

- Криволинейный интеграл: ∫(x³dy - y³dx) вдоль замкнутого контура L в положительном направлении

- Контур L - эллипс x²/4 + y²/1 = 1

Решение:

1. Вычисление криволинейного интеграла непосредственно:

Параметризуем эллипс:

x = 2cos(t)

y = sin(t)

dx = -2sin(t)dt

dy = 2cos(t)dt

Подставляя в интеграл:

∫(x³dy - y³dx) = ∫((2cos(t))³ × 2cos(t)dt - (sin(t))³ × (-2sin(t))dt)

= ∫(16cos⁴(t) - 8sin⁴(t))dt

= 16∫cos⁴(t)dt - 8∫sin⁴(t)dt

Используя тригонометрические формулы:

cos⁴(t) = (3/8) + (1/2)cos(2t) + (1/8)cos(4t)

sin⁴(t) = (3/8) - (1/2)cos(2t) + (1/8)cos(4t)

Получаем:

∫(x³dy - y³dx) = 16 × (3/8 + 1/2 × 2/4 + 1/8 × 0) - 8 × (3/8 - 1/2 × 2/4 + 1/8 × 0)

= 12π - 6π = 6π

2. Вычисление криволинейного интеграла по формуле Грина:

Пусть M = x³, N = -y³

∂M/∂y = 3x²

∂N/∂x = -3y²

∮(x³dy - y³dx) = ∬(∂M/∂y - ∂N/∂x)dA

= ∬(3x² + 3y²)dA

= 3∬(x²/4 + y²/1)dA (подставляя уравнение эллипса)

= 3(π × 2 × 1) = 6π

Вывод: Оба метода дают одинаковый результат - 6π.