Ответ:

Давайте розглянемо кожне з ваших питань по черзі.

### 1. Оцінка периметра і площі прямокутника

Довжина прямокутника ( A ) см, ширина ( B ) см, і відомі їхні межі: ( 3 < A < 7 ) і ( 2 < B < 5 ).

Периметр прямокутника ( P = 2(A + B) ):

- Мінімальний периметр: ( P_{text{min}} = 2(3 + 2) = 10 ) см.

- Максимальний периметр: ( P_{text{max}} = 2(7 + 5) = 24 ) см.

Площа прямокутника ( S = A cdot B ):

- Мінімальна площа: ( S_{text{min}} = 3 cdot 2 = 6 ) см².

- Максимальна площа: ( S_{text{max}} = 7 cdot 5 = 35 ) см².

### 2. Розв'язання нерівностей

a) ( x^2 + 4x - 12 geq 0 )

- Розв'язуємо квадратне рівняння ( x^2 + 4x - 12 = 0 ):

[ x = frac{-4 pm sqrt{16 + 48}}{2} = frac{-4 pm 8}{2} ]

[ x_1 = 2, quad x_2 = -6 ]

- Нерівність ( x^2 + 4x - 12 geq 0 ) виконується на проміжках ( (-infty, -6] cup [2, infty) ).

b) ( 3x^2 - 27x < 0 )

- Винесемо спільний множник: ( 3x(x - 9) < 0 )

- Нулі функції: ( x = 0 ), ( x = 9 )

- Нерівність ( 3x(x - 9) < 0 ) виконується на проміжку ( (0, 9) ).

### 3. Маса свіжих грибів для отримання 4 кг сушених

При сушінні гриби втрачають 95% своєї маси, тобто залишається 5% маси.

- Нехай ( M ) — маса свіжих грибів.

- Тоді 5% від ( M ) — це 4 кг:

[ 0.05M = 4 ]

[ M = frac{4}{0.05} = 80 text{ кг} ]

### 4. Кількість вантажівок для перевезення 60 т вантажу

Нехай ( n ) — кількість вантажівок, які були замовлені.

- Кожна вантажівка повинна була перевозити ( frac{60}{n} ) т.

- Через поломку двох вантажівок кількість працюючих вантажівок стала ( n-2 ), і кожна тепер перевозить ( frac{60}{n-2} ) т.

- Відомо, що ця кількість на 1 т більше, ніж планувалося:

[ frac{60}{n-2} = frac{60}{n} + 1 ]

- Розв'яжемо рівняння:

[ frac{60}{n-2} - frac{60}{n} = 1 ]

[ frac{60n - 60(n-2)}{n(n-2)} = 1 ]

[ frac{120}{n(n-2)} = 1 ]

[ 120 = n^2 - 2n ]

[ n^2 - 2n - 120 = 0 ]

[ n = frac{2 pm sqrt{4 + 480}}{2} = frac{2 pm 22}{2} ]

[ n = 12 text{ (реальний корінь, оскільки } n = -10 text{ не має сенсу)} ]

### 5. Чи є число 214 членом арифметичної прогресії?

Арифметична прогресія: ( a_n = 6, 14, 22, ldots )

- Загальна формула: ( a_n = 6 + (n-1) cdot 8 = 8n - 2 )

- Перевіримо, чи може ( 8n - 2 = 214 ):

[ 8n - 2 = 214 ]

[ 8n = 216 ]

[ n = 27 ]

- Отже, число 214 є 27-м членом прогресії.

### 6. Геометрична прогресія між числами 8 і 27

- Нехай геометрична прогресія: ( 8, a, b, 27 )

- Властивість геометричної прогресії: ( a = 8r ) і ( b = 8r^2 ) і ( 27 = 8r^3 )

- Вирішимо рівняння: ( 27 = 8r^3 )

[ r^3 = frac{27}{8} = left(frac{3}{2}right)^3 ]

[ r = frac{3}{2} ]

- Тоді:

[ a = 8 cdot frac{3}{2} = 12 ]

[ b = 8 cdot left(frac{3}{2}right)^2 = 18 ]

- Отже, прогресія: ( 8, 12, 18, 27 ).

### 7. Способи вибору фруктів

a) Один фрукт з тарілки (9 фруктів):

- Вибір одного фрукта: ( 5 ) яблук + ( 4 ) груші = ( 9 ) способів.

b) Одне яблуко і одну грушу:

- Вибір одного яблука і однієї груші: ( 5 times 4 = 20 ) способів.