Размещено 4 года назад по предмету Алгебра от Yozhikoff

Найдите точки экстремума и определите промежутки возрастания-убывания функции y=2x/(x^2-4)
Поподробнее про промежутки, пожалуйста, если можно

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан azzzi250

y=2x/(x^2-4)
y = (2 x)/((x-2) (x+2))

x^2-4 $neq$ 0, y = (2 x)/(x^2-4)
x = 0, y = 0
x $neq$ -2 x $neq$ 2
(d)/(dx)((2 x)/(x^2-4)) = -(2 (x^2+4))/(x^2-4)^2 - это производная функции
D（y) = (-∞,-2)U(-2,2)U(2,∞)

смотри график, функция только убывает (график приложил как файл)
функция убывает на (-∞,-2)U(-2,2)U(2,∞)
~
Помог ? Ставь "спасибо" и оцени работу ! ;)
Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан dnepr1

Результаты исследования графика функции
Область определения функции. ОДЗ: Точки, в которых функция точно неопределена:x=2.00, x=-2.00.
Так как функция имеет 2 разрыва, то её область определения имеет 3 промежутка. От -00 до +00 на всех участках функция убывает.
На промежутках убывания производная функции отрицательна.
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2*x/(x^2-4).
Результат: y=0. Точка: (0, 0)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:2*x/(x^2-4) = 0
Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X: x=0. Точка: (0, 0)
Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-4*x^2/(x^2 - 4)^2 + 2/(x^2 - 4)=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:Нет решения, значит, нет экстремумов.
Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=16*x^3/(x^2 - 4)^3 - 12*x/(x^2 - 4)^2=0lim y'' при x->+2.00
lim y'' при x->-2.00
(если эти пределы не равны, то точка x=2.00 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-2.00
lim y'' при x->--2.00
(если эти пределы не равны, то точка x=-2.00 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, 0)x=2.00. Точка: (2.00, ±oo)x=-2.00. Точка: (-2.00
Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: (-oo, 0] Выпуклая на промежутках: [0,oo)
Вертикальные асимптоты Есть: x=2.00 , x=-2.00 Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 2*x/(x^2-4), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0 lim 2*x/(x^2-4), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim 2*x/(x^2-4)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 2*x/(x^2-4)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа
Четность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:2*x/(x^2-4) = -2*x/(x^2 - 4) - Нет 2*x/(x^2-4) = -(-2*x/(x^2 - 4)) - Да, значит, функция является нечётной/
Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.Применим правило производной частного:ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))f(x)=x и g(x)=x²−4.Чтобы найти ddxf(x):В силу правила, применим: x получим 1Чтобы найти ddxg(x):дифференцируем x²−4 почленно:Производная постоянной −4 равна нулю.В силу правила, применим: x² получим 2xВ результате: 2xТеперь применим правило производной деления:(−x²−4)/x²−4)²Таким образом, в результате:( −2x²−8)/(x²−4)²Теперь упростим:−(2x²+8)/(x²−4)²
Ответ:
−(2x²+8)/(x2−4)²