1. Планеты вокруг Солнца движутся по эллиптическим орбитам.

2. Поскольку склонение Антареса меньше широты Питера, то звезда будет кульминировать к югу от зенита. Высоту кульминации найдем по формуле  H в.к. = 90 +( с – ф) Здесь с – склонение Антареса. ф – широта Питера. Тогда имеем H в.к. = 90 + (-26 – 60) = 90 – 86 = 4 градуса.

3. Поскольку Меркурий является внутренней планетой, то для него выполняется соотношение 1/S = (1/T) – (1/P).   Здесь  S – синодический период обращения Меркурия. T– сидерический (звездный) период обращения Меркурия вокруг Солнца.   P – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца = 1 год. Подставив в формулу известные величины, имеем 1/S = 1/0,24 – 1.  Отсюда S = 0,24/(1-0,24) =0,3158 года.

4. Сначала найдем сидерический период обращения планеты.  Для внешней планеты 1/S = (1/P). –  (1/T). Значения примененных символов те же, что и  в ответе 3. Поскольку S задан в сутках, то и P надо задать в сутках Р = 365 суток. Тогда  Т = Р*S/(S-Р) = 365*500/500-365 = 1351,(851) суток = 3,7037 года. Что бы найти большую полуось орбиты планеты надо применить третий закон Кеплера, который гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Т.е. (Тп/Тз)² = (Ап/Аз)³.   Отсюда куб большой полуоси орбиты планеты Ап³ = Аз³*(Тп/Тз)². Здесь Аз – большая полуось орбиты Земли равна 1 астрономическая единица  (а.е.); Тп и Тз - периоды обращения планеты и Земли вокруг Солнца.  Таким образом, Ап³ = 1³*(3,7037/1)². = 13,71742. Отсюда Ап = ∛ 13,71742 = 2,3938 а.е.

5. В общем случае ускорение свободного падания на планете определяется выражением g = G*M/R².   Здесь G – гравитационная постоянная.  M – масса планеты.   R – радиус планеты.   Для Земли gз = G*Mз/Rз².  Здесь Mз - масса Земли. Rз – радиус Земли.   Для Голубой планеты  gг = G*Mг/Rг². Здесь Mг – масса Голубой планеты. Rг = радиус Голубой планеты. Но, по условию  Mг = 6Мз; и gз = gг. Тогда имеем G*Mз/Rз². = gг = G*Mг/Rг² = G*6Mз/Rг².  Отсюда Rг² = G*6Mз*Rз²/G*Mз = 6Rз².   И тогда радиус Голубой планеты равен Rз*√6