Ответ:  1) Синодический и сидерический (звездный) периоды обращения внутренней и внешней планет, связаны с сидерическим периодом обращения Земли соотношениями:

1/Син = 1/Сид – 1/Тз    - для внутренней планеты.

1/Син = 1/Тз– 1/Сид   -  для внешней планеты.

Здесь Син – синодический период обращения планеты; Сид – сидерический период обращения планеты; Тз – сидерический период обращения Земли, равен 1 год или 365 дней.

Поскольку синодический период обращения астероида = 700 дней, то по отношению к Земле он (астероид) является внешней планетой и тогда надо применить формулу 1/Син = 1/Тз – 1/Сид   Из этой формулы Сид = Тз*Син/(Син – Тз) = 365*700/(700 – 365) = 762,68…дней.

Для нахождения большой полуоси  орбиты астероида применим третий закон Кеплера. По этому закону периоды обращения планет и большие полуоси их орбит связаны соотношением  аз³/а³= Тз²/Т².  Здесь аз и а большие полуоси орбит Земли и астероида соответственно, примем аз = 1 астрономической единице (а.е.) ; Тз и Т – звездные (сидерические) периоды обращения Земли и астероида соответственно. Из этого соотношения  а³=  аз³* Т²/Тз². Тогда а = ∛(аз³* Т²/Тз²) = ∛(1³*762,68²/365²) =1,6344… а.е.

2) Горизонтальный параллакс для объектов Солнечной системы определяется выражением: р'' = 206265''Rз/S,  здесь р'' – горизонтальный параллакс в угловых секундах;  206265'' – количество угловых секунд в одном радиане; Rз – радиус Земли  = 6371 км;  S - расстояние до наблюдаемого объекта в км. Из приведенной формулы искомое расстояние S = 206265''Rз/ р'' = 206265''*6371км/0,571'' = 2301426120,8 км

3) При таком синодическом периоде обращения планета может быть и внутренней и внешней. Из формул, приведенных в ответе на первый вопрос можно записать: для внутренней планеты Сид = Син*Тз/(Син + Тз) = 4*1/(4+1) = 4/5 года;

Для внешней планеты Сид = Син*Тз/(Син - Тз) = 4*1/(4-1) = 4/3 года.

4) Поскольку звездный период обращения астероида Хирон много больше звездного периода обращения Земли равного 1 год, то астероид является внешней планетой и синодический период его обращения можно найти из формулы 1/Син = 1/Тз– 1/Сид. Из этой формулы  Син = Тз* Сид/( Сид – Тз) = 1*200/(200 -1) = 200/199 лет. Т.е чуть более 1 года.

5) Для нахождения сидерического (звездного) периода обращения астероида применим третий закон Кеплера. аз³/а³ = Тз²/Т², здесь аз – большая полуось (радиус) земной орбиты = 1 а.е.; а –радиус орбиты астероида = 43,4 а.е.;  Тз – сидерический период обращения Земли = 1 год; Т – сидерический период обращения астероида. Из приведенной формулы Т² = Тз²*а³/аз³. Тогда Т = √(Тз²*а³/аз³) = √(1²*43,4³/1³) = √43,4³ = 285,9 года. Для нахождения синодического периода воспользуемся формулой из ответа на вопрос 4). Син = Тз* Сид/( Сид – Тз) = 1*285,9/(285,9 – 1) = 285,9/284,9 = 1,00350… года.