1.

Дано:

a = 9400 км = 9,4×10³ км

T = 0,319 суток

a☾ = 384400 км = 384,4×10³ км

T☾ = 27,32 суток

M⊕ = 5,97×10²⁴ кг

----------------------------------------------------

Найти:

M - ?

Решение:

Сначала мы запишем формулу про третий обобщенный закон Кеплера:

T²(M+m)/T☾²(M⊕+m☾) = a³/a☾³ - третий обобщенный закон Кеплера

Пренебрегая массами спутника и Луны получим, что:

M/M⊕ = T☾²/T² × a³/a☾³ следовательно мы получаем:

M = T☾²/T² × a³/a☾³ × M⊕ ⇒ M = (T☾/T)² × (a/a☾)³ × M⊕

Теперь решаем:

M = (27,32 суток/0,319 суток)² × (9,4×10³ км/384,4×10³ км)³ × 5,97×10²⁴ кг ≈  (85,64)² × (0,02445)³ × 5,97×10²⁴ кг ≈ 7334,2096 × 0,0000146 × 5,97×10²⁴ кг ≈ 6,3926×10²³ кг ≈ 6,39×10²³ кг

Ответ: M = 6,39×10²³ кг

2.

Дано:

p" = 2,1"

p"☉ = 8,8"

D☉ = 1 а.е.

----------------------

Найти:

D - ?

Решение:

Запишем формулы расстояния до Солнца и до планеты:

Расстояние до Солнца: D☉ = 206265"/p"☉ × R⊕

Расстояние до планеты: D = 206265"/p" × R⊕

Тогда, написав формулы для расстояния до Солнца и до планеты и поделив их одну на другую мы получим:

D/D☉ = 206265"/p" × R⊕ / 206265"/p"☉ × R⊕ = 206265" × R⊕ × p"☉/206265" × R⊕ × p" = p"☉/p" ⇒ D/D☉ = p"☉/p" ⇒ D = p"☉/p" × D☉

Теперь решаем:

D = 8,8"/2,1" × 1 а.е. ≈ 4,19 × 1 а.е. ≈ 4,19 а.е.

Ответ: D = 4,19 а.е.

3.

Дано:

ρ" = 23,4"

p" = 2,1"

R⊕ = 6370 км

-------------------------

Найти:

R - ?

Решение:

R = ρ"/p" × R⊕ - Линейный радиус планеты

R = 23,4"/2,1" × 6370 км ≈ 11,14 × 6370 км ≈ 70961,8 км ≈ 70962 км

Ответ: R = 70962 км

4.

Дано:

a = 6,1 а.е.

a⊕ = 1 а.е.

T⊕ = 365,25 суток

--------------------------------------

Найти:

T - ?   t - ?

Решение:

Найдем сначала большую полуось спутника:

a(КА) = a+a⊕/2 = 6,1 а.е. + 1 а.е./2 = 7,1 а.е./2 = 3,55 а.е.

Теперь находим время полеты на планету, используя период обращения планеты:

T = a(КА)√a(КА)   и    t = T/2, следовательно мы получим:

t = a(КА)√a(КА) / 2 = 3,55√3,55 / 2 ≈ 3,55×1,8841/2 ≈ 6,689/2 ≈ 3,3445 года ≈ 3,345 года ≈ 1221,8 суток ≈ 1221 суток

Ответ: t = 3,345 года = 1221 суток