Ответ:   1)  Тангенциальная скорость ≈ 30,726 км/с

2)  Расстояние до звезды ≈ 74 световых года.

3)  Время наблюдения  ≈ 0,868 года.

Объяснение: 1) Дано:

Расстояние до звезды D = 50 св.лет = 5*10^17 м

Угловое смещение звезда за год α'' = 0,4''

Найти тангенциальную скорость Vт - ?

Линейное смещение объекта в тангенциальном направлении, при известном угловом смещении и расстоянии до объекта, можно найти по формуле: S  = α''*D/206265 =

                          = 0,4*5*10^17/206265 м

В астрономии принято угловые смещения объектов указывать для одного года наблюдений.  Таким образом, чтобы найти линейную тангенциальную скорость объекта надо линейное тангенциальное смещение объекта разделить на количество секунд в году.

Количество секунд в году tг = 365,25*24*60*60.  

Тогда  Vт = S/tг = 0,4*5*10^17/(206265*365,25*24*60*60) ≈

≈ 30725,6 м/с ≈ 30,726 км/с

2) Дано:

Тангенциальная скорость звезды Vт = 25 км/с = 25000 м/с

Длительность наблюдения за звездой t = 1,5 года =  

= 1,5*365,25*24*60*60 секунд.

Перемещение звезды за время наблюдения α'' = 0,33''

Найти расстояние до звезды в световых годах D - ?

Вначале определим расстояние, которое звезда пролетит за 1,5 года:

S = Vт*t = 25*1,5*365,25*24*60*60. При наблюдении с искомого расстояния этот отрезок траектории звезды будет виден под углом  α'' = 0,33''. Тогда искомое расстояние можно найти по формуле D = S*206265/α'' =

=  25*1,5*365,25*24*60*60*206265/0,33 ≈ 7,39685*10^17м.  Чтобы это расстояние выразить в св.годах надо это расстояние разделить на длину св.года в метрах, т.е.

Dсв.г = 7,39685*10^17/10^16 ≈ 74 световых года.

3) Дано:

Расстояние до звезды  D = 52 св.года = 5,2*10^17 м

Угловое смещение звезда (за время t)   α'' = 0,25''

Тангенциальная скорость звезды Vт = 23 км/с = 23000 м/с

Найти время, за которое произошло смещение звезды на 0,25''       t - ?

Линейное смещение звезды в тангенциальном направлении можно найти по формуле: S = α''*D/206265  _______ (1)

С другой стороны линейное смещение звезды в тангенциальном направлении можно найти и иначе:  

                                              S = Vт*t ________(2)

Приравняв выражения (1) и (2) имеем:

                       α''*D/206265 = Vт*t.   ________ (3)

Из выражения (3) t =  α''*D/206265*Vт. Время будет найдено в секундах.   Чтобы это время выразить в годах надо время в секундах разделить на количество секунд в году. Тогда время в годах tг = α''*D/(206265*Vт*365,25*24*60*60) ≈ 0,868 года.