а) Фирма прекратит производство если P<minAVC (цена меньше минимума средних переменных издержек).
TC=VC+FC
FC=18 => VC=q^3-4q^2+10q
AVC=VC/q => AVC=q^2-4q+10 - парабола, ветви вверх, минимум в вершине
q=2 - вершина параболы => minAVC=2^2-4*2+10=4-8+10=6
Получили, что при P<6 фирма прекратит производство в краткосрочном периоде. Так как мы не знаем уравнение спроса, мы не можем сказать при каких q фирма прекратит производство.
б) Фирма будет находиться в равновесии в долгосрочном периоде при P=minAC.
AC=TC/q => AC=q^2-4q+10+(18/q)->min(q)
AC'(q)=2q-4-(18/q^2)=0 => 2q^3-4q^2-18=0
q^3-2q^2-9=0
q=3: 3^3-2*3^2-9=27-18-9=0 верно => q=3 - корень уравнения
(q-3)(q^2+q+3)=0 => q=3 - единственный корень
Докажем, что q=3 - точка минимума.
AC'(2)=16-16-18<0
AC'(4)=128-64-18>0
При q<3 функция убывает, при q>3 функция возрастает => q=3 - точка минимума.
AC(3)=9-12+10+6=13 - минимум AC
При P=13, q=3 фирма будет находиться в долгосрочном равновесии.