составим систему из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии:

m v1 = m v1' + 2 m v2'
(m v1²)/2 = (m v1'²)/2 + (2 m v2'²)/2

перепишем в более удобном виде:

m v1 - m v1' = 2 m v2' (1)
m v1² - m v1'² = 2 m v2'² (2)

из первого уравнения находим, что

v2' = (mv1 - mv1')/2m (!)

разделим (2) на (1):

v1 + v1' = v2' (!!)

составим систему из (!) и (!!):

v2' = (mv1 - mv1')/2m
v2' = v1 + v1'

перепишем в виде:

v2' = (v1/2) - (v1'/2)
v2' = v1 + v1'

выразим из обеих уравнений v1':

v1' = v1 - 2 v2'
v1' = v2' - v1

приравниваем выражения для v1':

v1 - 2 v2' = v2' - v1,

v2' = (2/3) v1

следовательно, v1' = v2' - v1 = (2/3) v1 - v1 = -(1/3) v1