1)

Общее уравнение движения колебаний математического маятника выражается, как:

x = Acos(ωt+δ) ,

где: A – амплитуда колебаний, ω = √[g/L] – циклическая частота колебаний, а δ – начальная фаза колебаний.

Из элементарного дифференцирования понятно, что скорость и ускорение выразятся, как:

v = –Aωsin(ωt+δ) , и

a = –Aω²cos(ωt+δ) ;

Сказано, что маятник отклоняется максимально до угла θ, а значит: A/L=θ .

Сказано, что в начальный t=0 момент угол отклонения θo=xo/L ,

Сказано, что в начальный момент t=0 скорость шарика vo и шарик движется на увеличение отклонения, т.е. скорость положительна.

Получаем уравнения:

Lθo = Lθcosδ ,

vo = –Lθωsinδ ,

cosδ = θo/θ ;

|sinδ| = √[1–cos²δ] = √[1–(θo/θ)²] ;

0 < vo = –Lθωsinδ = Lθω|sinδ| = Lθ √[g/L] √[1–(θo/θ)²] = √[Lg(θ²–θo²)] ,

vo = √[Lg(θ²–θo²)] ,

В момент максимального отклонения маятника шарик на мгновение «замрёт», это будет точкой разворота в колебании. В этот момент времени v=0 .

vo так же можно найти и из закона сохранения энергии.

При смещении шарика на некоторую величину x от равновесия, как легко понять из теоремы Пифагора, он оказывается на √[L²–x²] ниже точки подвеса:

Обозначим: x/L = φ << 1 :

√[L²–x²] = L√[1–φ²] ≈ L√[1–2(φ²/2)+(φ²/2)²] = L√[(1–(φ²/2))²] = L(1–(φ²/2)) =
= L–Lφ²/2 – это расстояние по вертикали от шарика до точки подвеса.

При этом, получается, что он поднимается по отношению к точке равновесия на величину: Lφ²/2,

А значит, потенциальная энергия шарика от смещения выражается, как: mgLφ²/2.

Полная механическая энергия должна сохраняться, а поэтому:

mgLφ²/2 + mv²/2 = const;

gLφ² + v² = const;

В частности:

gLθo² + vo² = gLθ²;

Откуда: vo² = gLθ² – gLθo² ;

vo² = √[gL(θ²–θo²)] ;




2) При движении в центральном поле момент сил относительно центра вращения равен нулю, а значит, момент импульса сохраняется.

Стало быть из ЗСМИ: mro vo = mrv, поскольку планета движется по эллипсу, а r и ro – образуют большую полуось, которая перпендикулярная лини эллипса в точках пересечения.

С другой стороны сохраняется и полная механическая энергия, выражаемая, как: mv²/2–GMm/r = const ;

v²/2–GM/r = vo²/2–GM/ro ;

v²/2–GM/r = v²r²/[2ro²]–GM/ro ;

v²r²/ro²–v² = 2GM/ro–2GM/r ;

v²(r²/ro²–1) = 2GM(1/ro–1/r) ;

v²r²(1/ro²–1/r²) = 2GM(1/ro–1/r) ;

v²r²(1/ro+1/r) = 2GM ;

v² = 2GM/[r²(1/ro+1/r)] ;

ОТВЕТ: v = 1/r √[2GM/(1/ro+1/r)] ;

Аналогично или из закона сохранения момента импульса ЗСМИ:

vo = 1/ro √[2GM/(1/ro+1/r)] .