закон сохр энергии
mv^2/2+0=mu1^2/2+mu2^2/2
v^2=u1^2+u2^2

закон импульса ( в векторной форме)
mv+0=mu1+mu2
значит ( в векторной форме)
v=u1+u2
проекции на направление движения
v=u1*cos(alpha)+u2*cos(beta)
проекции перпендикулярно направлению движения
0=u1*sin(alpha)-u2*sin(beta)

v=u1*cos(alpha)+u2*cos(beta)
0=u1*sin(alpha)-u2*sin(beta)

возведем оба уравнения в квадрат и сложим уравнения между собой
v^2=u1^2*cos^2(alpha)+u2^2*cos(beta)+2u1u2cos(alpha)cos(beta)
0=u1^2*sin(alpha)-u2^2*sin(beta)-2u1u2sin(alpha)sin(beta)

складываем
v^2+0 = u1^2*(sin^2+cos^2)+u2^2*(sin^2+cos^2)+2u1u2*(os(alpha)cos(beta) -sin(alpha)sin(beta))

упрощаем
v^2 = u1^2*+u2^2+2u1u2*(os(alpha)cos(beta) -sin(alpha)sin(beta))
и вспоминаем, что v^2 = u1^2*+u2^2

в итоге 2u1u2*(сos(alpha)cos(beta) -sin(alpha)sin(beta)) = 0
2u1u2*сos(alpha+beta) = 0
сos(alpha+beta) = 0

alpha+beta =pi/2
***************
значит sin(alpha)=cos(beta)
значит sin(beta)=cos(alpha)
**************
v=u1*cos(alpha)+u2*cos(beta): умножим на cos(alpha)
0=u1*sin(alpha)-u2*cos(alpha): умножим на sin(alpha)
результат сложим

**************
v*cos(alpha)=u1*cos^2(alpha)+u2*cos(beta)*cos(alpha)
0=u1*sin(alpha)*sin(alpha)-u2*cos(alpha)*sin(alpha)
складываем

**************
v*cos(alpha)=u1*(cos^2+sin^2)+u2*(cos(beta)*cos(alpha)-u2*cos(alpha)*sin(alpha)


**************
вспомним sin(alpha)=cos(beta)
v*cos(alpha)=u1*(cos^2+sin^2)+u2*(cos(beta)*cos(alpha)-u2*cos(alpha)*sin(alpha)
v*cos(alpha)=u1+u2*(cos(beta)*cos(alpha)-u2*cos(alpha)*cos(beta))= u1*1+u2*0
v*cos(alpha)=u1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


аналогично
v=u1*cos(alpha)+u2*cos(beta): умножим на cos(beta)
0=u1*sin(alpha)-u2*cos(alpha): умножим на -sin(beta) (на минус синус) !!!
результат сложим
сократим

v*cos(beta)=u1*cos(alpha)*cos(beta)+u2*cos^2(beta)
0=-u1*sin(alpha)sin(beta)+u2*cos(alpha)*sin(beta)
**** cos(alpha) = sin(beta)*****
v*cos(beta)=u1*cos(alpha)*cos(beta)+u2*cos^2(beta)
0=-u1*sin(alpha)sin(beta)+u2*sin^2(beta)
результат сложим
сократим
в итоге получим
v*cos(beta) = u2


все !