Нет. Бутылка с ртутью полностью в ртуть не погрузится, а останется плавать, незначительно поднявшись над поверхностью ртути.

С водой все просто: плотность стекла больше плотности воды:

              ρ(ст.) = 2500 кг/м³

              ρ(в.) = 1000 кг/м³

Поэтому стеклянная бутылка с водой утонет в воде.

А вот плотность ртути значительно больше плотности стекла:

              ρ(рт.) = 13600 кг/м³

Выталкивающая сила, действующая на бутылку с ртутью в ртути:

              Fₐ = gV(ρ(рт.) - ρ(ст.)) = 111000·V

Если предположить в качестве бутылки 0.5 л молочную бутылку массой 0,4 кг, то объем стекла в такой бутылке:

             V = m/ρ = 0,4 : 2500 = 0,00016 (м³)

Тогда выталкивающая сила:

             Fₐ = 111000 · 0,00016 = 17,76 (Н)

Этой силы достаточно, чтобы уравновесить объем ртути:

             V' = Fₐ/ρg = 17,76 : 136000 = 0,00013 (м³) = 130 (см³)

Разумеется, выталкивающая сила действует и на внутренний объем бутылки. Но в случае полного заполнения бутылки той же жидкостью, что и снаружи, выталкивающая сила полностью уравновешивается весом жидкости в бутылке, и во внимание ее можно не принимать.