Дано:

m₁ = m₂ = m

υ₀ = 6 м/с

μ₁ = μ₂ = μ = 0,5

g = 10 м/с²

t, τ - ?

Решение:

Для ответа на первый вопрос мы будем рассматривать каждое из тел в тот момент, когда начинается движение (в данной задаче силы трения покоя уже преодолены и на обе доски действуют силы трения скольжения). Также мы будем рассматривать каждую доску относительно неподвижной системы отсчёта - земной поверхности.

Для ответа на второй вопрос доски будем рассматривать как единое тело, т.к. обе они тормозят с одинаковым ускорением относительно земной поверхности.

См. рисунок №1. После толчка на нижнюю доску по горизонтали действуют две силы: сила трения между поверхностью и нижней доской Fтр2 и сила трения между нижней доской и верхней Fтр1. Равнодействующая этих сил тормозит нижнюю доску.

На верхнюю доску действует только одна сила - сила трения Fтр1 (по Третьему закону Ньютона верхняя доска действует на нижнюю так же, как и нижняя - на верхнюю). Она разгоняет доску.

Составим уравнение по Второму Закону Ньютона для каждой из досок и выразим ускорения:

ВЕРХНЯЯ:

OY: N₁ - mg = 0 => N₁ = mg

OX: Fтр₁ = ma₁

Fтр₁ = μN₁ => μmg = ma₁ | : m

μg = a₁

НИЖНЯЯ:

OY: N₂ - mg - P = 0 => N₂ = mg + P, где P - вес верхней доски (P = mg), т.о.:

N₂ = mg + mg = 2mg

OX: Fтр₂ + Fтр₁ = ma₂

Fтр₂ = μN₂ => 2μmg + μmg = ma₂ | : m

2μg + μg = a₂

3μg = a₂

1) Верхняя доска будет ускоряться до тех пор, пока её скорость не совпадёт со скоростью нижней. В этот момент она будет находиться в состоянии покоя относительно нижней доски. То есть, проскальзывание досок друг по другу прекратится и обе как единое целое продолжат движение до полной остановки. Используем кинематическую формулу скорости через ускорение и время для того, чтобы найти эту единую для обеих досок скорость:

υ = υ₀' + a₁*t - для верхней

υ = υ₀ - a₂*t - для нижней

Приравняем их:

υ = υ

υ₀' + a₁*t = υ₀ - a₂*t,

где υ₀' = 0 =>

=> a₁*t = υ₀ - a₂*t

a₁*t + a₂*t = υ₀

t*(a₁ + a₂) = υ₀

t = υ₀/(a₁ + a₂) = υ₀/(μg + 3μg) = υ₀/(4μg) = 6/(4*0,5*10) = 6/20 = 3/10 = 0,3 c

2) Время от начала движения до полной остановки будет складываться из промежутка t и промежутка t', за который доски как единое целое проскользят по поверхности до остановки:

τ = t + t'

См. рисунок №2. Теперь будем рассматривать доски как единое тело массой М, на которое действует сила трения Fтр.

Найдём ускорение:

OY: N = Mg

OX: Fтр = Ma

μMg = Ma | : M

μg = a

Вообще-то, если рассмотреть доски отдельно, то возникнет вопрос: а какая сила тормозит верхнюю? Ведь до скорости υ её разогнала сила трения со стороны нижней, а как известно, тела обладают инертностью - стремятся сохранить свою скорость постоянной. То есть верхняя доска сопротивляется изменению своей скорости. Этой силой, сообщающей торможение, является сила трения покоя между досками. Точно эта же сила действует и на нижнюю со стороны верхней (согласно Третьему закону Ньютона).

Выразим время t', за которое скорость системы υ изменяется до υ' = 0:

υ' = υ - a*t'

0 = υ - a*t' => υ = a*t' => t' = υ/a = a₁*t/a = (μg*υ₀/(4μg)) / (μg) = (υ₀/4) / (μg) = υ₀/(4μg) =>

=> τ = t + t' = υ₀/(4μg) + υ₀/(4μg) = 2υ₀/(4μg) = υ₀/(2μg) = 6/(2*0,5*10) = 6/10 = 0,6 c

Ответ: 0,3 с; 0,6 с.