Пусть материальная точка движется с амплитудой A и частотой ω в двух гармонических колебаниях. Тогда уравнения этих колебаний будут иметь вид:

x₁ = A cos(ωt + φ₁)

x₂ = A cos(ωt + φ₂ + π/3)

где φ₁ и φ₂ - начальные фазы колебаний.

Результирующее колебание определяется как сумма этих двух колебаний:

x = x₁ + x₂

= A cos(ωt + φ₁) + A cos(ωt + φ₂ + π/3)

= A (cos(ωt + φ₁) + cos(ωt + φ₂ + π/3))

Используя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получим:

x = 2A cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2) cos(ωt + (φ₁ + φ₂ + π/3)/2)

Сравнивая это уравнение с x = cos(ωt), видим, что:

2A cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2) = 1

(φ₁ + φ₂ + π/3)/2 = 0

Отсюда находим:

A = 1/(2 cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2))

φ₁ + φ₂ = -π/3

Заметим, что если φ₂ - φ₁ = π/2, то A = 1/2, что является максимальной амплитудой в данной задаче. Таким образом, решение имеет единственное значение: φ₂ - φ₁ = π/2 - π/6 = π/3.

Итак, имеем:

φ₂ - φ₁ = π/3

A = 1/(2 cos(π/6 + π/6))

= 1/(2 cos π/3)

= 1

φ₂ = φ₁ + π/3

A₁ = A cos(φ₁ + π/6)

= A cos(π/6 - φ₂/2)

= cos(π/6 - π/6)/2

= 1/2

A₂ = A cos(φ₂ + π/6)

= A cos(2π/3 - φ₁/2)

= cos(π/6 + π/3)/2

= √3/2

Таким образом, уравнения колебаний имеют вид:

x₁ = 1/2 cos(ωt + π/6)

x₂ = √3/2 cos(ωt + 2π/3 + π/6)