Рисунки к задачам во вложении, сделаны "вид сверху и сбоку".

1.Стороны квадрата со стороной 16 см касаются сферы.
Найти расстояние от центра сферы до плоскости квадрата, если радиус сферы,
проведенный в точку касания сферы со стороной квадрата образует с плоскостью
квадрата угол, равный 30 градусам.

АВ - расстояние от одной стороны квадрата до другой ( средняя линия).

О- точка, делящая его среднюю линию пополам ( от нее до центра сферы измеряется расстояние)
Рассмотрим рисунок - вертикальный разрез сферы. Радиус R найдем через cos(30°)
cos(30°)=OB:R
R=OB:cos(30°)=8·2:√3=16:√3
Расстояие от центра сферы до плоскости квадрата равно половине радиуса сферы и равно 8:√3 или (8 √3):3, что одно и то же.
---------------------------------------------

2.Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см лежат на сфере

Найти радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости равно 5 см

Гипотенуза треугольника - диаметр сечения сферы плоскостью, которой он принадлежит, так как этот треугольник - вписанный прямоугольный. 
Следовательно, радиус сечения равен 12 см.
Рассмотрим рисунок.

Этот радиус и расстояние от центра сферы до плоскости треугольника - катеты длиной 12 и 5 см соответственно, радиус сферы R - гипотенуза.
По теореме Пифагора найдем R=13.

------------------

( Если Вы помните о тройках Пифагора, можно обойтись без вычисления, как в случае с египетским треугольником)