Начнем с апофемы: рассмотрим боковую сторону пирамиды. Это трапеция со сторонами 4;2;2;2. Проводим высоты из концов верхнего основания на нижнее. Нижнее основание разбивается на 3 отрезка (1;2;1). Значит, по теореме Пифагора, h=sqrt(4-1)=sqrt(3).

Далее высота: так как в основании лежат правильные треугольники, то высота пройдет через их центры (точки пересечения медиан). Так как медианы делятся 2:1, считая от вершины, то нам нужно найти эти отрезки. 

Для верхнего основания m=sqrt(3)=>2/3*m=2/3*sqrt(3)

Для нижнего основания m=2*sqrt(3)=>2/3*m=4/3*sqrt(3)

Теперь строим сечение (точнее, прямоугольную трапецию, содержащую высоту пирамиды, боковое ребро, и по 2/3 медианы в качестве основания этой трапеции).

Нужно найти высоту этой трапеции. Аналогично, проведя высоту из вершины верхнего основания на нижнее, получим прямоугольный треугольник со сторонами (h; 2/3*sqrt(3);2). По т.Пифагора h=2*sqrt(6)/3. Это и есть высота пирамиды.

....................................................................................