Так как в условии ничего нет про угол, под которым отрезок пересекает плоскость, примем его за 90°. В этом случае действительно можно говорить о том, что расстояния от концов отрезка до плоскости являются частями самого отрезка, то есть перпендикуляры из концов отрезка на плоскость совпадают с самим отрезком.
Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм)
                           и   L/2 = 7,5 (cм)
Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть: 
                               h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)

Ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см


Решение через подобие треугольников. (см. рис.)

Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость.
Следовательно, АА₁⊥α  и  ВВ₁⊥α.
Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁.
Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О:
        Данные треугольники являются прямоугольными и
        ∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные.
Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4
Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х
Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка    АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х
Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х

Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁:
         Так как СС₁⊥α  => CC₁⊥A₁B₁
         ∠АОА₁ - общий
Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и
         АО/CO = 12/CC₁
         4x/1,5x = 12/CC₁
         CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)

Ответ: 4,5 см