Дана пирамида SABCD с основанием ABCD - ромб со стороной 2√3 и острым углом 30°. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом 60°, значит вершина пирамиды S проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей ромба.
Начнем с того, что объем пирамиды равен:
V=(1/3)*So*H, где So - площадь основания, а Н - высота пирамиды.
So - площадь ромба (основание - ромб - дано) и как площадь любого параллелограмма, равна So=a*b*Sinα, где a и b -стороны, а α - угол между ними. У нас стороны ромба равны и
So=a²*Sin30 = 12*(1/2)=6 ед².
Высоту ромба найдем из другой формулы площади:
So=a*h, где h - высота, опущенная на сторону "а".
h =S/a = 6/(2√3)=√3. Естественно, половина этой высоты равна √3/2.
Рассмотрим в нашей пирамиде прямоугольный треугольник SOM, где SO - высота пирамиды (катет), OM - половина высоты ромба (второй катет), равный половине высоты ромба (так как точка О - центр ромба) и SM - высота боковой грани. Так как <SMO=60° (дано), то SM=2*OM=√3.
По Пифагору SO=√(SM²-OM²)=√(3-3/4)=√(9/4)=3/2.
Это высота пирамиды.  Тогда ее объем равен:
V=(1/3)*6*(3/2)=3 ед³.