Основание пирамиды ромб с большей диагональю d и острым углом альфа .Все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. Найдите площадь полной поверхности пирамиды  

  Площадь S полной поверхности пирамиды равна сумме S1 –(площади основания), и S2 –(площади 4-х равных боковых сторон). 

Примем сторону основания равной а. (см. рисунок в приложении)

Тогда S1=a²•sinα 

S2=SH•4a:2=SH•2a

S=a²•sinα+2a•SH

Так как боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом, радиус r=ОН вписанной в основание окружности равен половине высоты  h основания и по т. о трёх перпендикулярах является проекцией высоты SH боковой грани, а угол SHO= β  =>

SH=r=OH:cosβ

S2=[2a•(a•sinα)/2]:cosβ=a²•sinα/cosβ

S=a²•sinα+ a²•sinα/cosβ

Выразим а²  из  ∆ BCD по т.косинусов.

 В ∆ DCB  большая диагональ BD=d 

<DCB=180°- < CDA  

 cos<DCB= - cosCDA= -cosα 

По т.косинусов BD²=CD²+BC²-2CD•CB•(-cosα )

d²=a²+a²-2a²•(-cosα )=> 

Подставив в S значение а² , получим:

S=d²•sinα•(cosβ+1):2(1+cosα)cos β (ед. площади)