1.  ΔAOD ~ΔCOB  (второй признак подобия )
∠AOD =∠COB 
OA/OC =OD/OB  ||   15/5 =18/6 =3  =k_ коэффициент подобия  ||.
Следовательно ∠OAD =∠OCB , но они накрест лежащие углы⇒AD|| BC.
Отношение площадей треугольников  AOD и BOC :
 S(AOD)/S(COB)  =k² =3² =9.
-------
2.  BD  ⊥AC  и BD ⊥ MP  ⇒MP || AC отсюда ΔABC  ~ΔMBP.
AB/MB =CB/PB⇔AB/MB =(BP+PC)/PB ⇒
AB/7 =(9+18)/9 ⇔AB/7 =27/9 ⇒AB=21.  
 S(AOD)/S(COB)  =k² =3² =9.
S(MBP)/S(ABC) =(MB/AB)² =(7/21)² =1/9.
-------
4. Допустим ,что BD биссектриса угла  B : ∠ABD =∠DBC.
BC*BA =BD² ⇔ BC/BD =BD/BA. Значит   ΔABD ~ΔDBC (по второму признаку  подобия ). ⇒∠BAD =∠BDC.
S(ABD)/S(DBC) = (DA/CD)² =(2/3)²  =4/9 .
* * *  или  иначе S(DBC) /S(ABD =9:4. * * *
-------
5.Дано ΔABC:  K∈[AC] , ΔAKB ~ΔABC  ,  AB:BC:AC =3:7:9 ; P(ABC) =57.
---
AK-?  ,KC -? , BK -?
ΔAKB ~ΔABC ( ∠A - общее , но ∠AKB > ∠C ⇒ ∠AKB =∠ABC.)
AB:BC:AC =3:7:9 P(ABC) =57⇒AB=57/(3+7+9) *3 =(57/19)*3 =3*3=9 ;
BC=3*7 =21 ; AC=3*9 =27.
ΔAKB ~ΔABC ⇒AK/AB=AB/AC ⇒AK =AB²/AC =9²/27 =3.
KC =AC -AK =27 -3 =24.
BK/CB =AB/AC ⇒BK =(AB/AC)*CB =(9/27)*21 =7.

ответ: AK =3 ,KC =24 ,BK =7.