Размещено 4 года назад по предмету Геометрия от velgort

Пожалуйста,решите,мне нужно с рисунком. ☺Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. ОКРУЖНОСТЬ с центром O,построенная на боковой стороне AB как на диаметре,касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание AD в точке H,точка Q -середина CD.
1)Докажите,что четырехугольник DQOH-параллелограмм
2)НАЙДИТЕ AD,если угол Bad =60° и BC=2

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Alexandr130398

Введем дополнительные обозначения:
Пусть окружность касается стороны CD в точке К, ОЕ1 и ОЕ2 - высоты трапеции АОQD
a) по условию АВ-диаметр окружности, значит АО=ОВ=R
ABCD - равнобедренная трапеция, следовательно ∠ВАD=∠CDA и AB=CD=2R
Если Q - середина CD, то ОQ - средняя линия трапеции. Следовательно AO=OB=CQ=QD=R
Также АО=ОН=R, то есть ΔАОН-равнобедренный, значит
∠ВАD=∠OHA
При этом ∠ВАD=∠CDA, следовательно ∠OHA=∠CDA, значит эти углы соответственные при параллельных прямых ОН и DQ и секущей АD.
Итак, ОН=QD и ОН || QD, следовательно DQOH-параллелограмм.

б) ∠ВАD=∠OHA=60°
∠АОН=180°-(∠ВАD+∠OHA)=180°-(60°+60°)=60° - ΔАОН - равносторонний, следовательно АН=R
∠ABC=∠BCD=180°-60°=120°
Если окружность касается CD, то ∠OKC=90° и ОК=R
Сумма всех углов в четырехугольнике равна 360°
∠ВОК=360°-(∠ОВС+∠OKC+∠DCK)=360°-(120°+90°+120°)=30°
Если ОQ -средняя линия трапеции, то OQ || AD, следовательно
∠BAD=∠BOQ=60°
∠KOQ=∠BOQ-∠ВОК=60°-30°=30°
ΔOQK -прямоугольный с прямым углом OKQ
$cos30= frac{OK}{OQ} \ frac{ sqrt{3} }{2} = frac{R}{OQ} \ OQ= frac{2R}{ sqrt{3} }$
OQ=HD- так как DQOH-параллелограмм
$AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} }$
средняя линия трапеции =(а+в)/2
$OQ=( BC+AD )/2 \ frac{2R}{ sqrt{3} } =(2+R+ frac{2R}{ sqrt{3} }) /2= frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ sqrt{3}} /2 \ frac{2R}{ sqrt{3} }=frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ 2sqrt{3}}|*2 sqrt{3} \ \ 4R=2sqrt{3} +Rsqrt{3} +2R \ 2R-Rsqrt{3} =2sqrt{3} \ R(2-sqrt{3} )=2sqrt{3} \ \ R= frac{2sqrt{3} }{2-sqrt{3} } = frac{2sqrt{3}(2+sqrt{3})}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}= frac{4sqrt{3}+2*3}{2 ^{2} -sqrt{3}^{2} } = frac{4sqrt{3}+6}{4-3 }=4sqrt{3}+6$
$AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} } =R+frac{2R sqrt{3} }{sqrt{3}*sqrt{3}} = frac{3R}{3} + frac{2sqrt{3}R}{3} = frac{3R+2sqrt{3}R}{3} = \ frac{3(4sqrt{3}+6)+2 sqrt{3} (4sqrt{3}+6)}{3} = frac{12 sqrt{3}+18+24+12 sqrt{3} }{3} = frac{24 sqrt{3}+42 }{3} =8 sqrt{3} +14 \ OTBET: 8 sqrt{3} +14$