Пусть точка A(x0;y0) находится с одной стороны от оси симметрии параболы, точка B(x1;y1) находится с другой стороны от оси симметрии.
Так как треугольник AOB прямоугольный, угол AOB прямой. То есть векторы OA и OB перпендикулярны, а их скалярное произведение равно 0.
Вектор OA=(x0;y0), вектор OB=(x1;y1).
Скалярное произведение равно OA*OB = x0*x1+y0*y1=0
Так как y0=a(x0)^2, y1=a(x1)^2, то x0*x1+a(x0)^2*a(x1)^2=0
x0*x1*(1+a^2*x0*x1)=0.
Очевидно, что x0≠0, x1≠0, иначе AOB не был бы треугольником. Значит, x0*x1=-1/a^2 => x1=-1/(x0*a^2).
___________________________________________
Сначала возьмем случай, когда x0=-x1. Тогда x0=-1/a, x1=1/a.
Отсюда y0=a*(x0)^2=a*(-1/a)^2=1/a,
y1=a*(x1)^2=a*(1/a)^2=1/a.
Отсюда следует, что y0=y1 - прямая горизонтальная, все ее значения равны 1/a. Это значит, что если существует общая точка у всех прямых AB, то она обязательно имеет координату y, равную 1/a.
_________________________________________________
Теперь возьмем два симметричных треугольника AOB и A'OB'. Треугольник A'OB' является отражением треугольника AOB относительно оси симметрии параболы, то есть прямой x=0.
Очевидно, что по x они пересекаются в точке x=0.
__________________________________________________
Отсюда следует, что если такая общая точка существует, то она обязана быть равной (0;1/a). Проверим это.
Составим уравнение прямой AB.
Пусть A(x0; a(x0)^2), тогда B имеет координату x1 = -1/(x0*a^2) (это доказывается выше) и координату y1 = a*(x1)^2 = a*(-1/(x0*a^2))^2 = 1/(a^3*(x0)^2)
Составим уравнение прямой:
(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)
(x-x0)(y1-y0)=(y-y0)(x1-x0)
x(y1-y0)+y(x0-x1)=x0*y1-x1*y0
Вместо x подставим 0,
вместо y подставим 1/a,
вместо y0 подставим a*(x0)^2,
вместо x1 подставим -1/(x0*a^2),
вместо y1 подставим 1/(a^3*(x0)^2)
Если точка (0;1/a) принадлежит той прямой, то получится тождество.
0*(1/(a^3*(x0)^2)-a*(x0)^2) + 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) = 
x0 * (1/(a^3*(x0)^2)) - (-1/(x0*a^2)) * a*(x0)^2
Посчитаем левую часть.
0*(1/(a^3*(x0)^2)-a*(x0)^2) + 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) = 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) = x0/a + 1/(x0*a^3)
Посчитаем правую часть
x0 * (1/(a^3*(x0)^2)) - (-1/(x0*a^2)) * a*(x0)^2 = 1/(x0*a^3) + x0/a
Левая и правая части равны, значит, получилось тождество, что и требовалось доказать.
Значит, общая точка существует, единственна и равна (0;1/a).