1. Нет. Предположим, что точки A,B, C и D не лежат в одной плоскости, но при этом хотя бы три точки, например, B, C и D лежат на прямой aa. Тогда через прямую a и точку A проходит плоскость α (если A также принадлежит на прямой a, то даже не одна). Так как точки B, C и D лежат на прямой a, то они принадлежат α, как и точка A. Противоречие с условием. Следовательно, никакие три точки не лежат на одной прямой. 

2. Да. Третья прямая проходит через две точки, принадлежащие плоскости, образованной первой и второй прямой (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна) то есть лежит в этой плоскости (аксиома прямой и плоскости).

3. Да. Прямая aa и точка A задают плоскость α (через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).  

Рассмотрим произвольную прямую b, проходящую через точку A и пересекающую прямую aaв точке  B. 

Тогда точки A и B принадлежат плоскости α, то есть прямая b лежит в плоскости α (аксиома прямой и плоскости), что и требовалось.

4. Нет. Они могут лежать в другой плоскости.

5. Да. Если эти прямые не скрещиваются, то точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, что противоречит условию (прямые AB и CD скрещиваются).