А что мешает считать, что точка эта - один из концов гипотенузы? Тогда периметр "четырехугольника" равен а + 0  + а + 0 = 12, где а - катет. 

Ответ а = 6.

Если точка выбрана произвольно, то периметр х + (а - х) + х + (а - х), где х - расстояние от точки до какого-то катета. Это потому, что перпендикуляры из точки на катеты "отсекают" от треугольника тоже равнобедренные прямоугольные треугольники - с катетами х и а - х (х отсчитывается от конца гипотенузы, при х = 0 как раз получается то, что я написал вначале)

Поэтому х + (а - х) + х + (а - х) = 2a = 12 при любом выборе точки.

А можно и еще такую штуку придумать. Можно "достроить" треугольник до квадрата, в котором гипотенуза будет диагональю. Тогда из произвольно выбранной на диагонали квадрата точки проводятся прямые параллельно сторонам квадрата. Конечно, они равны по длине сторонам квадрата, и - конечно же - их сумма равна периметру этого самого четырехугольника. Откуда сразу следует ответ :)