Пусть a - боковая сторона меньшего треугольника, b - большего.

Площади относятся как 9 : 16
Площадь р/б прям. треугольника = a²/2

S₁ : S₂ = 9 : 16
a²/2 : b²/2 = 9 : 16
a² : b² = 9 : 16
a : b = 3 : 4

Гипотенуза большего треугольника по теореме Пифагора равна b√2
P = b + b + b√2 = 2b + √2b = 16
2b + √2b = 16
b(2 + √2) = 16
b = 16/(2 + √2)
b = 8(2 - √2)
b = 16 - 8√2 см

a : b = 3 : 4
a : (16-8√2) = 3 : 4 ⇒ a = 6(2-√2) = 12 - 2√2 см

Гипотенуза меньшего треугольника по теореме Пифагора равна a√2 = √2(12-2√2) = 12√2 - 4 см

Расстояние от вершины до гипотенузы - высота треугольника. Она делит треугольник на две равные части. Рассмотрим одну из них:

1-й катет - высота - ?
2-й катет - половина гипотенузы (меньшего треугольника)
гипотенуза - сторона меньшего треугольник, то есть a.

По теореме Пифагора составим уравнение, обозначив высоту за x.
x² + ((12√2-4)/2)² = (12-2√2)²
x²  + (6√2-2)² = (12-2√2)²
x² + 72 - 24√2 + 4 = 144 - 48√2 + 8
x² = 76 - 24√2
x = √(76 - 24√2) = √(4(19-6√2) = 2√(19-6√2) см