обозначим вершины 6-угольника, начиная со стороны, равной 4:

АВ=4, ВС=CD=5, DE=6, EF и FA не заданы

площадь 6-угольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и трапеции... S(6) = S(BCD) + S(ABDE) + S(AEF)

рассмотрим треугольник BCD:

он равнобедренный, угол BCD=120 градусов, => два оставшихся угла по 30 градусов и высота, проведенная к основанию BD, = 2.5

основание BD = 2*(5cos30) = 5*V3

S(BCD) = 2.5*2.5*V3 = 6.25*V3

рассмотрим трапецию ABDE: 

углы ABD и BDE равны и составляют 90 градусов (как оставшиеся части углов 6-угольника 120-30=90)

S(ABDE) = ((4+6)/2) * BD = 25*V3

остался треугольник AEF с неизвестными двумя сторонами и углом 120 градусов...

третью его сторону AE можно найти как боковую сторону трапеции по т.Пифагора 

AE^2 = 25*3+2*2 = 79

AE = V79

и два других угла в этом треугольнике тоже можно найти...

если угол AED трапеции обозначим x, то можно записать какую-нибудь триг.функцию этого угла из прямоугольного треугольника с гипотенузой AE и катетом параллельным и равным BD: sinx = 5*V3 / V79

угол FEA = 120-x

угол FAE = 180-120-(120-x) = x-60

S(AEF) = AF*FE*sin(120) / 2 = AF*FE*V3/4

по т.синусов можно записать: FE/sin(x-60) = AF/sin(120-x) = AE/sin(120) = 2*V79 / V3

отсюда:

FE = 2*V79*sin(x-60) / V3

AF = 2*V79*sin(120-x) / V3

S(AEF) = 79*sin(x-60)*sin(120-x) / V3

осталось произведение синусов выразить через известный sinx...

cosx = корень(1-(sinx)^2) = 2 / V79

sin(x-60) = sinx*cos60 - cosx*sin60 = (sinx - V3*cosx)/2 = 3*V3 / (2*V79)

sin(120-x) = sin120*cosx - cos120*sinx = (sinx + V3*cosx)/2 = 7*V3 / (2*V79)

S(AEF) = 63 / (4*V3) = 21*V3 / 4

S(6) = 6.25*V3 + 25*V3 + 21*V3 / 4 = V3 * (25/4 + 25 + 21/4) = V3 * 36.5

Достроим до прямоугольного треугольника стороны шестиугольника с неизвестными сторонами

Получили прямоугольный треугольник с углом 30.

Вычислим его стороны

АС=KF=5√3(по т косинусов)

CF=KA=4

DF=2

FP=x, PK=2x(  по т Пифагора найдем стороны треугольникаPFK)

PF=5, PD=PE=ED=3

KP=10,KE=7

S₁=0.5*5*5*√3/2=25√3/4

S₂=0.5(4+6)*5√3=25√3

S₃=0.5*3*7*√3/2=21√3/4

S=25√3/4+25√3+21√3/4=25√3/4+100√3/4+21√3/4=146√3/4=36.5√3