Прямая Е1F II ВC1 (ну, мелочи сами обоснуйте :)), поэтому плоскость В1Е1FA II  ВC1 (тут надо обосновать уже то, что такую плоскость МОЖНО провести). Поэтому расстояние между прямыми AB1 и BC1 - это расстояние от BC1 до плоскости B1E1FA. 

Можно пойти еще дальше, и построить плоскость, содержащую BC1 и параллельную плоскости B1E1FA. Это - плоскость BC1D1E. Расстояние между прямыми AB1 и BC1 равно расстоянию между этими параллельными плоскостями. 

А теперь (главное - не останавливаться !:) ) можно построить плоскоть, перпендикулярную ОБЕИМ постороенным плоскостям. Если К - середина CD, К1 - середина C1D1, M - середина AF, M1 - середина A1F1, то плоскость KK1MM1 перендикулярна BC1D1E, потому что содержит КМ, перпендикулярную BE, а ВЕ перпендикулярна и КК1, и плоскость KK1MM1 перпендикулярна B1E1FA, поскольку содержит В1Е1, а В1Е1 перпендикулярна КК1 (напоминаю, что если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).

Поскольку плоскость КК1М1М пересекает ВС1D1E по прямой К1О (O - центр нижнего основания) и АВ1Е1F по прямой О1М (О1 - центр верхнего основания), то задача свелась к нахождению расстояния между параллельными прямыми К1О и О1М. 

Ну, и чтобы уж совсем стало просто - такое расстояние очевидно равно высоте к гипотенузе в прямоугольном треугольнике К1ОО1 (это - расстояние от О1 до К1О).

ОО1 = 1, К1О1 =  √3/2, ОК1 = √(ОО1^2 + K1O1^2) = √7/2;

h = K1O1*OO1/OK1 = √(3/7)

С тем же успехом вместо KK1M1M можно взять плоскость АСС1А, которая ей параллельна. Но в этом случае муторнее доказывать перпендикулярность плоскостей (хотя тоже не сложно). 

Еще раз - смысл решения. Я построил ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ плоскости, каждая из которых содержит ОДНУ из скрещивающихся прямых. Такое построение для двух скрещивающихся прямых ЕДИНСТВЕННО, и расстояние между прямыми равно расстоянию между построенными плоскостями. Затем я построил плоскость, перпендикулярную ОБЕИМ параллельным плоскостям (достаточно доказать перпендикулярность одной из них) . И - последнее, - я нашел расстояние между параллельными прямыми, по которым эти три плоскости пересекаются. Это и есть искомое расстояние.